ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.48 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через центр сферы радиуса \(R\) проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

Внешнее касание: центр малой сферы на луче \(x=y=z\), координаты \((r,r,r)\). Расстояние до центра большой сферы равно \(r\sqrt{3}\). Условие касания: \(r\sqrt{3}=R+r\). Отсюда \(r=\frac{R}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)R}{2}\).

Внутреннее касание: те же координаты центра \((r,r,r)\), расстояние \(r\sqrt{3}\). Условие касания: \(r\sqrt{3}=R-r\). Отсюда \(r=\frac{R}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)R}{2}\).

Рассмотрим систему координат с началом в центре данной сферы радиуса \(R\) и осями, совпадающими с тремя взаимно перпендикулярными плоскостями, к которым должна касаться искомая сфера. Чтобы касаться каждой из трёх координатных плоскостей, центр искомой сферы обязан быть равноудалён от них, то есть иметь одинаковые по модулю координаты. Поэтому центр удобно задать как \((r,r,r)\), где \(r\) — её радиус: действительно, расстояние от точки \((r,r,r)\) до каждой из плоскостей \(x=0\), \(y=0\), \(z=0\) равно \(r\). Тогда расстояние между центром данной сферы \((0,0,0)\) и центром искомой \((r,r,r)\) вычисляется по формуле расстояния в пространстве: \(d=\sqrt{(r-0)^{2}+(r-0)^{2}+(r-0)^{2}}=\sqrt{3r^{2}}=r\sqrt{3}\).

Далее различаем два случая касания с данной сферой радиуса \(R\). Если искомая сфера с центром \((r,r,r)\) касается данной сферы снаружи, то сумма радиусов равна расстоянию между центрами: \(r\sqrt{3}=R+r\). Переносим \(r\) влево и решаем: \(r(\sqrt{3}-1)=R\), откуда \(r=\frac{R}{\sqrt{3}-1}\). Рационализуем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}+1\): \(r=\frac{R(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{R(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{(\sqrt{3}+1)R}{2}\). Это и есть радиус искомой сферы при внешнем касании, удовлетворяющий одновременно условиям касания трёх координатных плоскостей и внешнего касания исходной сферы.

Если же искомая сфера касается данной сферы изнутри, то расстояние между центрами равно разности радиусов: \(r\sqrt{3}=R-r\). Переносим \(r\) вправо: \(r(\sqrt{3}+1)=R\), откуда \(r=\frac{R}{\sqrt{3}+1}\). Аналогично рационализуем знаменатель, умножая на \(\sqrt{3}-1\): \(r=\frac{R(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{R(\sqrt{3}-1)}{3-1}=\frac{(\sqrt{3}-1)R}{2}\). Это радиус искомой сферы при внутреннем касании. В обоих случаях ключом является расположение центра на биссекторе октанта \(x=y=z\) и использование формулы расстояния в \(\mathbb{R}^{3}\), дающей \(r\sqrt{3}\) между центрами, что и порождает линейные уравнения для радиуса с последующей рационализацией.