ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.49 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Две касающиеся сферы помещены в куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) так, что одна из них касается трёх граней куба с общей вершиной \(A\), а другая касается трёх граней с общей вершиной \(C_1\). Найдите расстояние между центрами сфер, если ребро куба равно \(a\).

Введём координаты вершин куба и оси так, чтобы вершина \(A\) была в начале координат, а \(C^{1}\) — в точке \((a,a,a)\). Тогда центр первой сферы, касающейся граней при \(A\), равен \(O_{1}(r,r,r)\), центр второй сферы, касающейся граней при \(C^{1}\), равен \(O_{2}(a-R,a-R,a-R)\).

Расстояние между центрами вдоль диагонали равно \(O_{1}O_{2}=\sqrt{3}\,(a-R-r)\). По условию внутреннего касания сфер \(O_{1}O_{2}=r+R\). Получаем уравнение \(\sqrt{3}\,(a-R-r)=r+R\), откуда \(\sqrt{3}\,a=(\sqrt{3}+1)(r+R)\) и далее \(r+R=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}a=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}a=\frac{3-\sqrt{3}}{2}a\).

Ответ: расстояние между центрами сфер \(O_{1}O_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}a\).

Рассмотрим куб со стороной \(a\) и введём декартову систему координат так, чтобы вершина \(A\) совпадала с началом координат \((0,0,0)\), а противоположная вершина \(C^{1}\) имела координаты \((a,a,a)\). Сфера, касающаяся трёх взаимно перпендикулярных граней, сходящихся в вершине \(A\), имеет одинаковые расстояния до плоскостей \(x=0\), \(y=0\) и \(z=0\). Это расстояние равно радиусу \(r\), поэтому центр такой сферы должен иметь координаты \(O_{1}(r,r,r)\). Аналогично, сфера, касающаяся трёх граней, сходящихся в вершине \(C^{1}\), находится на таком же расстоянии \(R\) от плоскостей \(x=a\), \(y=a\), \(z=a\), из чего следует, что её центр имеет координаты \(O_{2}(a-R,a-R,a-R)\). Оба центра лежат на одной пространственной диагонали куба, соединяющей \(A\) и \(C^{1}\), поскольку они равностояны от соответствующих трёх взаимно перпендикулярных граней.

Вычислим расстояние между центрами сфер. Разность соответствующих координат равна \(a-R-r\) по каждой оси, поэтому расстояние между центрами равно \(O_{1}O_{2}=\sqrt{(a-R-r)^{2}+(a-R-r)^{2}+(a-R-r)^{2}}=\sqrt{3}\,(a-R-r)\). С другой стороны, поскольку сферы внутри куба касаются друг друга, расстояние между их центрами равно сумме радиусов, то есть \(O_{1}O_{2}=r+R\). Приравнивая два выражения для одной и той же величины, получаем уравнение \(\sqrt{3}\,(a-R-r)=r+R\). Перенесём члены, содержащие \(r\) и \(R\), в правую часть: \(\sqrt{3}\,a=\sqrt{3}\,r+\sqrt{3}\,R+r+R=(\sqrt{3}+1)(r+R)\). Отсюда непосредственно следует выражение для суммы радиусов: \(r+R=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}a\).

Упростим полученную дробь, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое \(\sqrt{3}-1\): \(r+R=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}a=\frac{3-\sqrt{3}}{2}a\). Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов в точном случае касания, окончательно имеем \(O_{1}O_{2}=r+R=\frac{3-\sqrt{3}}{2}a\). Это значение не зависит от конкретных \(r\) и \(R\) по отдельности, так как их сумма однозначно определяется геометрией: обе сферы закреплены условиями равных расстояний до трёх взаимно перпендикулярных плоскостей, а их центры коллинеарны диагонали куба, что приводит к линейной связи между \(a\) и \(r+R\). Ответ: \(O_{1}O_{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}a\).