ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сколько прямых, касающихся сферы, можно провести через точку:

1) принадлежащую этой сфере;

2) расположенную вне сферы?

1) Через точку на сфере можно провести одну касательную прямую.
Касательная в точке соприкосновения перпендикулярна радиусу: если \(O\) — центр сферы, \(A\) — точка на сфере, то радиус \(OA\) единственный, а касательная прямая в \(A\) единственна.

2) Через точку вне сферы можно провести бесконечно много касательных прямых.
Все касательные лежат в касательной плоскости к сфере, проходящей через эту точку; такая плоскость касается сферы по окружности, и через точку вне сферы в этой плоскости проходит бесконечно много прямых, касающихся окружности, следовательно и сферы.

1) Через точку, принадлежащую сфере, можно провести одну касательную прямую. Пусть центр сферы — точка \(O\), а заданная точка на сфере — \(A\). Радиус \(OA\) перпендикулярен любой касательной прямой в точке касания \(A\). Так как направление радиуса \(OA\) единственно, то единственной будет и прямая, перпендикулярная этому радиусу в точке \(A\), то есть касательная прямая. Других прямых, которые имели бы единственное касание с сферой в точке \(A\) и при этом оставались бы перпендикулярны \(OA\), не существует, следовательно касательная прямая через точку \(A\) единственна.

2) Через точку, расположенную вне сферы, можно провести бесконечно много касательных прямых. Рассмотрим точку \(P\) вне сферы с центром \(O\) и радиусом \(R\). Существует единственная касательная плоскость, проходящая через \(P\) и касающаяся сферы: она касается сферы по окружности \(C\), лежащей в этой плоскости, причём любая прямая, касающаяся окружности \(C\) и проходящая через \(P\), является касательной к сфере. Внутри этой плоскости через одну и ту же точку \(P\) можно провести бесконечно много различных направлений прямых, каждая из которых касается окружности \(C\) в своей точке касания, значит и сферы. Поэтому число таких касательных прямых не ограничено и составляет бесконечно много.