ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.50 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами прямоугольного треугольника с катетом 1 см и противолежащим углом, равным \(30^\circ\). Найдите радиусы сфер.

Пусть три сферы касаются плоскости в вершинах прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетом \(AB=1\) и противолежащим углом \(\angle C=30^\circ\). Тогда другой катет \(BC=2\), а гипотенуза \(AC=\sqrt{3}\).

Пусть радиусы сфер \(n_1=x\), \(n_2=y\), \(n_3=z\). Центры лежат на перпендикулярах к плоскости на высоте, равной радиусу, и попарная внешняя касание даёт расстояния между центрами \(2\sqrt{xy}\), \(2\sqrt{xz}\), \(2\sqrt{yz}\), которые равны соответствующим сторонам треугольника: \(2\sqrt{xy}=2\), \(2\sqrt{xz}=\sqrt{3}\), \(2\sqrt{yz}=1\).

Из них получаем систему: \(\,xy=1\), \(\,xz=\frac{3}{4}\), \(\,yz=\frac{1}{4}\). Делением уравнений: \(\frac{xz}{yz}=\frac{3/4}{1/4}=3\Rightarrow \frac{x}{y}=3\). Тогда из \(xy=1\) имеем \(x=3y\), следовательно \(3y^2=1\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда \(x=\sqrt{3}\), а из \(xz=\frac{3}{4}\) получаем \(z=\frac{3}{4x}=\frac{3}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\).

Ответ: \(n_1=\sqrt{3}\) см; \(n_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\) см; \(n_3=\frac{\sqrt{3}}{4}\) см.

Рассмотрим три сферы, касающиеся одной плоскости в точках, которые образуют прямоугольный треугольник \(ABC\). По условию один из катетов равен \(1\) см, а угол, противолежащий этому катету, равен \(30^\circ\). Пусть катет \(AB=1\), а угол \(\angle C=30^\circ\) противолежит \(AB\). В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы, поэтому гипотенуза \(AC=2\). Тогда второй катет находим по теореме Пифагора: \(BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}\). Итак, стороны треугольника, соответствующие попарным касаниям сфер над плоскостью, равны: \(AB=1\), \(BC=\sqrt{3}\), \(AC=2\).

Обозначим радиусы сфер через \(n_{1}=x\), \(n_{2}=y\), \(n_{3}=z\). Центр каждой сферы находится на перпендикуляре к плоскости на высоте, равной её радиусу, поэтому проекция центров на плоскость совпадает с вершинами треугольника \(A,B,C\). Если две сферы радиусов \(r_{1}\) и \(r_{2}\) касаются внешним образом и обе касаются плоскости, то расстояние между их центрами равно \(2\sqrt{r_{1}r_{2}}\): действительно, отрезок между центрами разбивается на вертикальные составляющие \(r_{1}\) и \(r_{2}\) и горизонтальную составляющую, равную расстоянию между точками касания на плоскости; по подобию прямоугольных треугольников с общей высотой получаем именно геометрическое среднее. Следовательно, длинам сторон \(AB,BC,AC\) соответствуют равенства \(2\sqrt{yz}=AB=1\), \(2\sqrt{xz}=BC=\sqrt{3}\), \(2\sqrt{xy}=AC=2\).

Возведём в квадрат каждое равенство и получим систему уравнений на попарные произведения радиусов: \(yz=\frac{1}{4}\), \(xz=\frac{3}{4}\), \(xy=1\). Разделив второе уравнение на первое, имеем \(\frac{xz}{yz}=\frac{3/4}{1/4}=3\), откуда \(\frac{x}{y}=3\). Подставим \(x=3y\) в уравнение \(xy=1\): \(3y^{2}=1\), значит \(y=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда \(x=3y=\sqrt{3}\). Чтобы найти \(z\), используем \(xz=\frac{3}{4}\): \(z=\frac{3}{4x}=\frac{3}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\). Проверка согласованности: \(2\sqrt{xy}=2\sqrt{\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\), \(2\sqrt{xz}=2\sqrt{\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\), \(2\sqrt{yz}=2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\), что полностью совпадает с сторонами треугольника.

Ответ: радиусы сфер равны \(n_{1}=\sqrt{3}\) см, \(n_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\) см, \(n_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) см.