ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.51 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в точках, являющихся вершинами треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\). Найдите радиусы сфер.

Рассмотрим проекции центров сфер на плоскость. Точки касания с плоскостью образуют треугольник со сторонами \(a\), \(b\), \(c\). Центры сфер лежат на перпендикулярах к плоскости над вершинами треугольника на высотах, равных радиусам \(r_1,r_2,r_3\). Попарная внешняя касательность сфер даёт расстояния между их центрами \(\sqrt{(r_i-r_j)^2 + (\text{сторона})^2}=r_i+r_j\). Отсюда получается система: \((r_1-r_2)^2+a^2=(r_1+r_2)^2\), \((r_2-r_3)^2+b^2=(r_2+r_3)^2\), \((r_3-r_1)^2=c^2=(r_3+r_1)^2-(r_3-r_1)^2\), что эквивалентно \(4r_1r_2=a^2\), \(4r_2r_3=b^2\), \(4r_3r_1=c^2\).

Решая систему, получаем \(r_1=\frac{bc}{2a}\), \(r_2=\frac{ac}{2b}\), \(r_3=\frac{ab}{2c}\).

1) Рассмотрим три сферы, каждая касается плоскости в своей точке; эти три точки лежат в плоскости и являются вершинами треугольника со сторонами \(a\), \(b\), \(c\). Центры сфер расположены на перпендикулярах к плоскости, проведённых через соответствующие вершины треугольника, на расстояниях, равных их радиусам \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\). Следовательно, если взять две сферы, проекции их центров на плоскость совпадают с двумя вершинами треугольника, а расстояние между этими вершинами равно соответствующей стороне. Поэтому отрезок между центрами двух сфер образует прямоугольный треугольник с катетами, равными разности их высот \(|r_i-r_j|\) и стороне треугольника, а гипотенуза равна сумме радиусов \(r_i+r_j\), так как сферы касаются внешним образом.

2) Для каждой пары получаем равенства по теореме Пифагора с учётом внешней касательности: \((r_1-r_2)^2+a^2=(r_1+r_2)^2\), \((r_2-r_3)^2+b^2=(r_2+r_3)^2\), \((r_3-r_1)^2+c^2=(r_3+r_1)^2\). Переносим и сокращаем одинаковые члены: из первого уравнения получаем \(a^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2=4r_1r_2\); аналогично из второго \(b^2=4r_2r_3\); из третьего \(c^2=4r_3r_1\). Таким образом имеем систему трёх уравнений на три неизвестных радиуса: \(4r_1r_2=a^2\), \(4r_2r_3=b^2\), \(4r_3r_1=c^2\).

3) Перемножим первые два равенства и поделим на третье, чтобы выразить \(r_2\) или \(r_1\) через стороны: \(\frac{(4r_1r_2)(4r_2r_3)}{4r_3r_1}=\frac{a^2b^2}{c^2}\), откуда \(4r_2^2=\frac{a^2b^2}{c^2}\) и \(r_2=\frac{ab}{2c}\). Аналогично, деля произведение второго и третьего уравнений на первое, находим \(r_3=\frac{bc}{2a}\), а деля произведение третьего и первого на второе, получаем \(r_1=\frac{ac}{2b}\). Эти формулы симметричны относительно перестановок сторон и показывают, что каждый радиус пропорционален произведению двух сторон, прилежащих к соответствующей вершине, и обратно пропорционален третьей стороне.

4) Итоговые радиусы сфер: \(r_1=\frac{bc}{2a}\), \(r_2=\frac{ac}{2b}\), \(r_3=\frac{ab}{2c}\).