ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.52 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что существует сфера, проходящая через начало координат и не содержащая других точек, все координаты которых являются рациональными числами.

Рассмотрим сферу с центром \(C(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})\) и радиусом \(R=\sqrt{6}\): её уравнение \( (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}+(z-\sqrt{2})^{2}=6 \). Она проходит через начало, так как \( (\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=6 \).

Пусть на сфере есть ещё точка с рациональными координатами \(P(a,b,c)\). Тогда \(a^{2}+b^{2}+c^{2}-2\sqrt{2}(a+b+c)+6=6\), откуда \(2\sqrt{2}(a+b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}\). Левая часть иррациональна при рациональном \(a+b+c\), правая рациональна, что невозможно. Следовательно, кроме начала координат рациональных точек на этой сфере нет.

1) Построим сферу, центр которой имеет все координаты равными одному и тому же иррациональному числу. Возьмем \(C(\sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2})\) и зададим сферу уравнением \( (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}+(z-\sqrt{2})^{2}=6 \). Радиус этой сферы равен \(R=\sqrt{6}\), поскольку расстояние от центра до начала координат \(O(0,0,0)\) равно \( \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{6} \). Подстановка координат \(O\) в уравнение дает \( (\!-\sqrt{2})^{2}+(\!-\sqrt{2})^{2}+(\!-\sqrt{2})^{2}=6 \), то есть начало действительно лежит на сфере.

2) Предположим, что на этой сфере есть вторая точка \(P(a,b,c)\) с рациональными координатами. Тогда из уравнения сферы следует \( (a-\sqrt{2})^{2}+(b-\sqrt{2})^{2}+(c-\sqrt{2})^{2}=6 \). Раскроем скобки: \( a^{2}-2a\sqrt{2}+2 + b^{2}-2b\sqrt{2}+2 + c^{2}-2c\sqrt{2}+2 = 6 \). Сгруппируем рациональные и иррациональные части: \( (a^{2}+b^{2}+c^{2}+6) — 2\sqrt{2}(a+b+c) = 6 \). Перенесем константу и упростим, получая равенство \( 2\sqrt{2}(a+b+c) = a^{2}+b^{2}+c^{2} \).

3) Заметим, что при рациональных \(a,b,c\) сумма \(a+b+c\) рациональна, следовательно произведение \(2\sqrt{2}(a+b+c)\) является числом вида рациональное \(\times\) \(\sqrt{2}\), то есть иррациональным. В то же время выражение \(a^{2}+b^{2}+c^{2}\) рационально, так как является суммой квадратов рациональных чисел. Таким образом, получено равенство рационального числа и иррационального числа, что невозможно. Следовательно, наше предположение о существовании такой рациональной точки \(P\) ложно.

4) Из противоречия заключаем, что единственная точка на построенной сфере с рациональными координатами — это начало координат \(O\). Действительно, \(O\) уже проверено подстановкой, а любая другая точка с рациональными координатами привела бы к невыполнимому равенству \( 2\sqrt{2}(a+b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2} \). Значит множество рациональных точек на сфере равно \( \{O\} \), а множество остальных рациональных точек на ней есть \(\emptyset\).

5) Тем самым сфера с уравнением \( (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}+(z-\sqrt{2})^{2}=6 \) проходит через начало координат и не содержит других точек с рациональными координатами. Ключ к построению — выбор центра с одинаковыми иррациональными координатами и радиуса, обеспечивающего прохождение через \(O\); ключ к доказательству уникальности — разложение уравнения и разделение рациональной и иррациональной частей, что немедленно даёт невозможность существования второй рациональной точки.