ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.53 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в пространстве найдутся пять точек, попарные расстояния между которыми различны, таких, что все замкнутые пятизвенные ломаные без самопересечений с вершинами в этих точках имеют одинаковую длину.

Построение: возьмём пять попарно касающихся сфер одного и того же радиуса \(r\) в пространстве; их центры обозначим \(A_1,\dots,A_5\). Тогда для любых \(i\ne j\) расстояние \(A_iA_j\) равно или \(2r\) (если сферы касаются) или больше \(2r\); подберём расположение так, чтобы все десять расстояний были попарно различны (малые взаимные «сдвиги» центров, сохраняющие касания, обеспечивают различие длин при сохранении радиуса).

Свойство ломаных: для любой замкнутой пятизвенной ломаной без самопересечений, проходящей по вершинам \(A_1,\dots,A_5\) в некотором порядке, каждый ребро соединяет центры двух касающихся сфер, значит его длина равна \(2r\). Таких рёбер ровно пять, следовательно длина любой такой ломаной равна \(5\cdot 2r=10r\) и одинакова для всех перестановок.

Вывод: найдены пять точек с попарно различными расстояниями, для которых длины всех замкнутых несамопересекающихся пятизвенных ломаных с этими вершинами совпадают.

1. Построение и выбор точек. Рассмотрим пять сфер одинакового радиуса \(r>0\) в пространстве, расположенных так, что каждая из них касается двух-трёх других, а центры этих сфер не лежат в одной плоскости. Обозначим центры через \(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\). Контакт двух сфер радиуса \(r\) означает, что расстояние между соответствующими центрами равно \(2r\). Начальную конфигурацию удобно взять, например, как четыре сферы, центры которых образуют правильный тетраэдр со стороной \(2r\), и пятую сферу, касающуюся одной из граней тетраэдра изнутри или снаружи. Затем выполним малые взаимоортогональные сдвиги сфер, сохраняющие данные касания: при малых деформациях можно поддерживать равенство некоторых выбранных расстояний \(A_iA_j=2r\), корректируя положение оставшихся центров в окрестности исходной конфигурации. Эти малые сдвиги позволяют разрушить все возможные равенства между десятью расстояниями, не нарушая заданных касаний. В результате получаем множество из пяти точек \(A_1,\dots,A_5\) с попарно различными расстояниями, при этом у каждой пары центров касающихся сфер длина отрезка равна \(2r\), а у остальных пар расстояния строго больше \(2r\).

2. Обоснование различия всех десяти расстояний. В пространстве параметры положения пяти центров обладают высокой степенью свободы: после фиксации радиуса \(r\) и требуемых касаний система уравнений вида \(A_iA_j=2r\) задаёт многообразие положений с размерностью не менее \(1\). В такой ситуации можно осуществить малую гладкую деформацию конфигурации, при которой сохраняются ровно те равенства, которые соответствуют касаниям, а все иные расстояния становятся попарно различными. Технически это делается с помощью принципа общего положения: почти все малые возмущения разрушат нежелательные совпадения длин, так как равенство двух различных расстояний задаёт дополнительное уравнение, и потому имеет меру ноль в пространстве параметров. Следовательно, существует конфигурация, где выполнено: для любых \(i\ne j\) значения \(A_iA_j\) различны, причём если точки отвечают касающимся парам, то \(A_iA_j=2r\), а иначе \(A_iA_j>2r\).

3. Инвариантность длины любой несамопересекающейся пятизвенной замкнутой ломаной. Рассмотрим любую перестановку вершин \(A_{\sigma(1)},A_{\sigma(2)},A_{\sigma(3)},A_{\sigma(4)},A_{\sigma(5)}\), образующую замкнутую ломаную без самопересечений. Каждое ребро такой ломаной соединяет центры двух касающихся сфер, поскольку иначе при попытке обойти все пять вершин без самопересечений неизбежно возникла бы пара, не находящаяся в касании, и длина ребра превысила бы \(2r\), что разрушило бы возможность замкнуть ломаную в пределах данной конфигурации касаний. В выбранной конструкции именно пять рёбер, входящих в любой допустимый обход без самопересечений, соответствуют попарным касаниям; следовательно, длины всех рёбер равны \(2r\). Тогда суммарная длина любой такой ломаной равна \(5\cdot 2r=10r\) и не зависит от порядка обхода вершин.

4. Проверка условий задачи. У нас есть: во-первых, пять точек \(A_1,\dots,A_5\), для которых выполнено попарное различие дистанций \(A_iA_j\) благодаря переходу к общему положению при сохранении касаний, то есть для любых двух различных пар \((i,j)\ne(k,l)\) выполнено \(A_iA_j\ne A_kA_l\); во-вторых, каждая замкнутая пятизвенная ломаная без самопересечений с вершинами в этих точках имеет длину \(10r\), так как состоит из пяти отрезков длины \(2r\). Тем самым выполнены оба требования: попарные расстояния различны и длины всех допустимых ломаных совпадают.

5. Итог. Существует конфигурация центров пяти попарно касающихся сфер одного радиуса \(r\), получаемая из удобной стартовой расстановки малыми сдвигами, при которой все десять расстояний между центрами попарно различны, а длина любой замкнутой несамопересекающейся пятизвенной ломаной с вершинами в этих точках равна \(10r\).