ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.54 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера радиуса 1 см касается всех рёбер правильного тетраэдра. Найдите ребро тетраэдра.

В правильном тетраэдре радиус сферы, касающейся всех рёбер, выражается через ребро \(a\) формулой \(r_e=\frac{a}{2\sqrt{2}}\). Это следует из рассмотрения сечения плоскостью, перпендикулярной ребру и проходящей через центр: в нём по теореме Пифагора получают расстояние от центра до ребра как указанную величину.

По условию \(r_e=1\) см, поэтому \(\frac{a}{2\sqrt{2}}=1\). Отсюда \(a=2\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(2\sqrt{2}\) см.

Рассмотрим правильный тетраэдр с ребром \(a\) и сферу, касающуюся всех его рёбер. Центр такой сферы лежит на оси симметрии тетраэдра и находится на равном кратчайшем расстоянии от каждого ребра. Это расстояние есть радиус искомой сферы, обозначим его \(r_e\). Чтобы найти связь между \(r_e\) и \(a\), удобно рассмотреть сечение плоскостью, перпендикулярной выбранному ребру и проходящей через центр тетраэдра. В этом сечении получается прямоугольный треугольник, один катет которого равен расстоянию от центра до ребра, то есть \(r_e\), а остальные элементы выражаются через известные метрические параметры правильного тетраэдра. В частности, используются соотношения между описанным радиусом \(R\), вписанным радиусом \(r\) и расстоянием до ребра, которые связаны с геометрией равноугольных граней и симметрией фигуры.

Из известных формул для правильного тетраэдра имеем \(R=\frac{a\sqrt{6}}{4}\) и \(r=\frac{a\sqrt{6}}{12}\). Радиус сферы, касающейся всех рёбер, выражается через ребро как \(r_e=\frac{a}{2\sqrt{2}}\). Этот результат можно получить, анализируя расстояния от центра до середин рёбер и высоты треугольных граней: в перпендикулярном к ребру сечении отрезки складываются в прямоугольный треугольник, где гипотенуза связана с \(R\), а один из катетов сдвигает центр относительно плоскостей граней, что приводит к соотношению Пифагора, дающему указанную формулу \(r_e=\frac{a}{2\sqrt{2}}\).

По условию сфера имеет радиус \(1\) см, то есть \(r_e=1\). Подставляя в формулу, получаем \(\frac{a}{2\sqrt{2}}=1\). Отсюда немедленно следует \(a=2\sqrt{2}\) см. Таким образом, длина ребра правильного тетраэдра равна \(2\sqrt{2}\) см, что согласуется с геометрической моделью и подтверждает, что сфера радиуса \(1\) см действительно может касаться всех шести рёбер тетраэдра с таким ребром.