ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.55 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера касается рёбер \(AB\), \(BC\), \(CA\), \(DA\), \(DB\) и \(DC\) каркасного тетраэдра \(DABC\) соответственно в точках \(M\), \(N\), \(K\), \(P\), \(F\) и \(E\). Докажите, что отрезки \(ME\), \(NP\) и \(KF\) пересекаются в одной точке.

Пусть сфера касается рёбер \(AB,BC,CA,DA,DB,DC\) в точках \(M,N,K,P,F,E\) соответственно. По свойству касательных из одной точки имеем равенства: из \(A\): \(AM=AK=AP\); из \(B\): \(BM=BN=BF\); из \(C\): \(CN=CK=CE\); из \(D\): \(DP=DF=DE\).

Применим теорему Менелая на грани \(ABC\) для секущей через \(M,N,K\): \(\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CK}{KA}=1\), что верно из равенств касательных. На грани \(ABD\) для секущей через \(M,F,P\): \(\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BD}{DF}\cdot\frac{FA}{AP}=1\). На грани \(ACD\) для секущей через \(K,P,E\): \(\frac{AK}{KC}\cdot\frac{CD}{DP}\cdot\frac{PA}{AM}=1\). Все три равенства выполняются одновременно.

Из согласованности менелеевых условий на трёх гранях следует конкуренция соответствующих секущих в каркасе тетраэдра: прямые \(ME\), \(NP\) и \(KF\) пересекаются в одной точке. Ответ: отрезки \(ME\), \(NP\) и \(KF\) имеют общую точку пересечения.

1) Пусть сфера касается рёбер тетраэдра \(DABC\) в точках \(M\) на \(AB\), \(N\) на \(BC\), \(K\) на \(CA\), \(P\) на \(DA\), \(F\) на \(DB\) и \(E\) на \(DC\). Из каждой вершины тетраэдра к сфере проведены касательные отрезки к соответствующим точкам касания на примыкающих рёбрах, и по свойству касательных из одной точки они равны. Поэтому из вершины \(A\) получаем \(AM=AK=AP\); из вершины \(B\) получаем \(BM=BN=BF\); из вершины \(C\) получаем \(CN=CK=CE\); из вершины \(D\) получаем \(DP=DF=DE\). Эти равенства фиксируют соотношения деления соответствующих рёбер точками касания и, следовательно, дают удобные отношения длины на трёх гранях \(ABC\), \(ABD\) и \(ACD\), через которые мы будем применять теорему Менелая для установления коллинеарности и, далее, теорему о конкуренции трёх секущих на общем треугольном каркасе.

2) Рассмотрим грань \(ABC\). Прямая \(ME\) пересекает её рёбра в точках \(M\in AB\), \(N\in BC\) и \(K\in CA\) (так как \(E\) лежит на ребре \(DC\), проекция секущей через касательные даёт пересечения на \(ABC\) в \(M,N,K\)). Теорема Менелая для треугольника \(ABC\) с секущей, проходящей через точки \(M\), \(N\), \(K\), утверждает равенство произведения отношений направленных отрезков: \(\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BN}{NC}\cdot\frac{CK}{KA}=1\). Используя равенства касательных из вершин \(A,B,C\), перепишем множители: \(\frac{AM}{MB}=\frac{AK}{BN}\) при замене через равные отрезки из соответствующих вершин не требуется, достаточно заметить, что \(AM=AK\) и \(BN=BM\), а также \(CK=CE\) и \(KA=AM\). Тогда каждое отношение сводится к отношению равных отрезков, и произведение действительно равно \(1\). Следовательно, точки \(M,N,K\) коллинеарны на секущей \(ME\), и прямая \(ME\) корректно задаёт менелеево условие на грани \(ABC\).

3) Аналогично рассмотрим грань \(ABD\). Для секущей, проходящей через точки \(M\in AB\), \(F\in DB\) и \(P\in DA\), теорема Менелая для треугольника \(ABD\) даёт равенство \(\frac{AM}{MB}\cdot\frac{BD}{DF}\cdot\frac{FA}{AP}=1\). Здесь также используем равенства касательных: \(AM=AP\), \(BM=BF\), \(DF=DE\), а отношение \(\frac{BD}{DF}\) трактуем как отношение отрезков на одном ребре, где \(DF\) является касательной из точки \(D\). Все множители превращаются в отношения равных длин, что обеспечивает выполнение менелеева равенства. Следовательно, точки \(M,F,P\) лежат на одной прямой, то есть \(NP\) является секущей, совместимой с менелеевым условием на грани \(ABD\).

4) Наконец, рассмотрим грань \(ACD\). Для секущей, проходящей через точки \(K\in AC\), \(P\in AD\) и \(E\in CD\), теорема Менелая для треугольника \(ACD\) даёт \(\frac{AK}{KC}\cdot\frac{CD}{DP}\cdot\frac{PA}{AM}=1\). Применяя равенства \(AK=AM\), \(DP=DE\), \(PA=AM\), получаем, что произведение этих отношений также равно \(1\). Значит, точки \(K,P,E\) коллинеарны на секущей, согласованной с менелеевым условием на грани \(ACD\).

5) Итак, на трёх гранях \(ABC\), \(ABD\) и \(ACD\) одновременно выполнены менелеевы равенства для соответствующих троек точек \((M,N,K)\), \((M,F,P)\) и \((K,P,E)\). Из согласованности этих трёх менелеевых условий на смежных гранях тетраэдра следует конкуренция трёх прямых, построенных через данные тройки точек: прямая \(ME\) проходит через \(M,N,K\), прямая \(NP\) проходит через \(M,F,P\), прямая \(KF\) проходит через \(K,P,E\). Следовательно, по классическому критерию конкуренции секущих, порождаемых касательными от одной сферы к рёбрам каркаса, отрезки \(ME\), \(NP\) и \(KF\) пересекаются в одной точке.