ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.56 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Отрезок \(BD\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведённая к его основанию. Точка \(M\) — середина отрезка \(BD\). Прямая \(AM\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K\). Найдите, в каком отношении точка \(K\) делит сторону \(BC\), считая от точки \(B\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\), высота \(BD\) является также медианой и биссектрисой, поэтому \(D\) — середина \(BC\). Точка \(M\) — середина \(BD\), значит \(AM\) — средняя линия в треугольнике \(ABD\) и параллельна \(AC\).

По теореме Фалеса из подобия \( \triangle ABM \sim \triangle ABC \): коэффициент подобия \(k=\frac{AM}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\). Следовательно, прямая \(AM\), пересекая \(BC\) в \(K\), делит её в том же отношении: \( \frac{BK}{KC}=\frac{1}{2} \).

Ответ: точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении \(1:2\) от точки \(B\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(BC\). Высота \(BD\), проведённая к основанию, в равнобедренном треугольнике одновременно является медианой и биссектрисой, поэтому точки \(B\) и \(C\) симметричны относительно прямой \(AD\), а точка \(D\) является серединой отрезка \(BC\). Отсюда следует, что \(BD \perp AC\) и \(BD\) делит \(BC\) пополам: \(BD\) проходит через \(D\), где \(BD\) пересекает \(BC\), причём \(BD\) таково, что \(BD\) разбивает сторону \(BC\) на два равных отрезка \(BD\) и \(DC\) с отношением \( \frac{BD}{DC} = 1 \). Далее, точка \(M\) — середина \(BD\), то есть \(BM = MD\) и \( \frac{BM}{BD} = \frac{1}{2} \).

Рассмотрим треугольник \(ABD\). Поскольку \(M\) — середина \(BD\), прямая \(AM\) является медианой к стороне \(BD\) в треугольнике \(ABD\). При этом из равнобедренности исходного треугольника \(ABC\) следует, что \(AC\) параллельна некоторой прямой, проходящей через вершину \(A\) и делящей треугольник \(ABD\) пропорционально, а именно \(AM\) оказывается средней линией треугольника \(ABD\), параллельной стороне \(AD\) или \(AC\) в большем треугольнике \(ABC\). Точнее, из расположения точек видно, что \(AM \parallel AC\) (так как \(M\) — середина высоты, а \(D\) лежит на основании), следовательно, возникает подобие треугольников \( \triangle ABM \sim \triangle ABC \). Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: \( k = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{2} \), а также \( \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{AB}{AB} = 1 \).

Так как \(AM \parallel AC\), точка \(K\) — пересечение прямой \(AM\) со стороной \(BC\) — делит сторону \(BC\) в том же отношении, что и соответствующие отрезки в подобии, то есть вдоль направления стороны \(BC\) выполняется равенство \( \frac{BK}{KC} = \frac{BM}{MD} = \frac{1}{2} \). Иными словами, точка \(K\) лежит на стороне \(BC\) так, что отрезок от \(B\) до \(K\) составляет половину отрезка от \(K\) до \(C\). Следовательно, точка \(K\) делит сторону \(BC\) в отношении \(1:2\), считая от точки \(B\).