ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.57 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, равна 32 см, а радиус вписанной окружности — 12 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть основание равнобедренного треугольника \(a\), боковая сторона \(b\), высота к основанию \(h=32\), радиус вписанной окружности \(r=12\). Площадь через высоту: \(S=\frac{1}{2}ah=16a\). Площадь через вписанную окружность: \(S=rs=12\cdot\frac{a+2b}{2}=6(a+2b)\). Приравнивая, получаем \(16a=6(a+2b)\Rightarrow 10a=12b\Rightarrow b=\frac{5}{6}a\).

Высота делит основание пополам, поэтому по теореме Пифагора для половины треугольника: \(b^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+32^{2}=\frac{a^{2}}{4}+1024\). Подставляя \(b=\frac{5}{6}a\), имеем \(\left(\frac{5}{6}a\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+1024\Rightarrow \frac{25}{36}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+1024\Rightarrow \frac{4}{9}a^{2}=1024\Rightarrow a^{2}=\)
\(=2304\Rightarrow a=48\), тогда \(b=\frac{5}{6}\cdot 48=40\).

Площадь \(S=16a=768\). По формуле \(S=\frac{abc}{4R}\) при \(a=48\), \(b=c=40\): \(768=\frac{48\cdot 40\cdot 40}{4R}=\frac{19200}{R}\Rightarrow R=\frac{19200}{768}=25\). Ответ: \(25\) см.

Пусть равнобедренный треугольник имеет основание \(a\), боковые стороны \(b\) и \(b\), высоту к основанию \(h=32\), а радиус вписанной окружности \(r=12\). Начнем с двух эквивалентных выражений площади одного и того же треугольника, чтобы установить связь между \(a\) и \(b\). С одной стороны, через основание и высоту площадь равна \(S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 32=16a\). С другой стороны, через радиус вписанной окружности площадь выражается как \(S=rs\), где \(s\) — полупериметр. Для равнобедренного треугольника \(s=\frac{a+2b}{2}\), значит \(S=12\cdot\frac{a+2b}{2}=6(a+2b)\). Приравнивая два выражения одной площади, получаем уравнение \(16a=6(a+2b)\). Преобразуем: \(16a=6a+12b\), далее переносим члены с \(a\) влево, а с \(b\) вправо: \(10a=12b\), откуда немедленно следует пропорция сторон \(b=\frac{5}{6}a\). Эта пропорция важна, потому что она связывает геометрию треугольника, определяемую высотой и вписанным кругом, с его линейными размерами, устраняя одну из переменных.

Теперь используем свойство равнобедренного треугольника: высота к основанию одновременно является медианой и биссектрисой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по \(\frac{a}{2}\). Рассмотрим один из получившихся прямоугольных треугольников: его катеты \(\frac{a}{2}\) и \(32\), гипотенуза \(b\). По теореме Пифагора имеем точное равенство \(b^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+32^{2}=\frac{a^{2}}{4}+1024\). Подставляя найденную ранее связь \(b=\frac{5}{6}a\), получаем уравнение \(\left(\frac{5}{6}a\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}+1024\), то есть \(\frac{25}{36}a^{2}=\frac{1}{4}a^{2}+1024\). Перенесем слагаемые с \(a^{2}\) влево: \(\left(\frac{25}{36}-\frac{1}{4}\right)a^{2}=1024\). Поскольку \(\frac{1}{4}=\frac{9}{36}\), разность дает \(\frac{16}{36}a^{2}=1024\), или эквивалентно \(\frac{4}{9}a^{2}=1024\). Умножая обе части на \(\frac{9}{4}\), находим \(a^{2}=1024\cdot\frac{9}{4}=2304\), откуда \(a=48\) (берем положительное значение как длину). Тогда по пропорции \(b=\frac{5}{6}a=\frac{5}{6}\cdot 48=40\). Эти значения согласуются с Пифагором: действительно, \(40^{2}=1600\), а \(24^{2}+32^{2}=576+1024=1600\), что подтверждает корректность вычислений и внутреннюю согласованность найденных длин с заданной высотой.

Осталось получить радиус описанной окружности. Сначала вычислим площадь явно через найденное основание: \(S=16a=16\cdot 48=768\). Используем формулу связи площади треугольника со сторонами и радиусом описанной окружности: \(S=\frac{abc}{4R}\), где \(a=48\), \(b=40\), \(c=40\), а \(R\) — искомый радиус. Подставляя значения, записываем \(768=\frac{48\cdot 40\cdot 40}{4R}\). Сократим числитель по шагам: \(48\cdot 40\cdot 40=76800\), значит \(768=\frac{76800}{4R}=\frac{19200}{R}\). Отсюда напрямую следует \(R=\frac{19200}{768}=25\). Итак, радиус описанной окружности равен \(25\), а построенная цепочка использует согласование двух формул площади, теорему Пифагора для половины равнобедренного треугольника и стандартную формулу \(S=\frac{abc}{4R}\), что обеспечивает полную проверяемость результата на каждом этапе.