ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если плоскость \(\alpha\) пересекает сферу с центром в точке \(O\) по окружности с центром в точке \(O_1\), то \(OO_1 \perp \alpha\).

Рассмотрим сферу с центром \(O\) и радиусом \(R\). Пусть плоскость \(\alpha\) пересекает сферу по окружности с центром \(O_1\) и радиусом \(r\).

Так как каждая точка \(A\) окружности лежит на сфере, то \(OA=R\). Одновременно \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), и расстояние от \(O\) до плоскости \(\alpha\) равно \(OO_1\), а расстояние от \(O_1\) до точки \(A\) равно \(r\). По теореме Пифагора для треугольника \(OO_1A\): \(OA^2=OO_1^2+O_1A^2\), то есть \(R^2=OO_1^2+r^2\).

Из равенства для всех точек окружности следует, что \(OO_1\) есть постоянное перпендикулярное расстояние от \(O\) до плоскости \(\alpha\). Следовательно, \(OO_1\perp \alpha\).

Пусть дана сфера с центром \(O\) и радиусом \(R\). Плоскость \(\alpha\) пересекает эту сферу по окружности с центром \(O_1\) и радиусом \(r\). Возьмём любую точку \(A\) на окружности пересечения. Тогда по определению сферы расстояние от \(O\) до \(A\) постоянно и равно \(R\), то есть \(OA=R\). Одновременно \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), а центр окружности сечения \(O_1\) является точкой в \(\alpha\), равноудалённой от всех точек окружности: \(O_1A=r\). Рассмотрим треугольник \(OO_1A\). Отрезок \(OO_1\) соединяет центр сферы с центром окружности сечения, а \(O_1A\) лежит в \(\alpha\). Если опустить из \(O\) перпендикуляр на \(\alpha\), его основание обозначим \(H\). Тогда \(OH\) — расстояние от \(O\) до \(\alpha\). Поскольку \(O_1\) — центр окружности в \(\alpha\), точка \(O_1\) совпадает с проекцией \(O\) на \(\alpha\), то есть \(H=O_1\). В таком случае треугольник \(OO_1A\) прямоугольный с прямым углом при \(O_1\): \(OO_1 \perp O_1A\).

Применим теорему Пифагора в треугольнике \(OO_1A\). Так как \(OA=R\) и \(O_1A=r\), получаем равенство \(OA^{2}=OO_1^{2}+O_1A^{2}\), то есть \(R^{2}=OO_1^{2}+r^{2}\). Это соотношение выполняется для любой точки \(A\) окружности, следовательно, длина \(OO_1\) — фиксированная величина, не зависящая от выбора \(A\). По определению расстояния от точки до плоскости фиксированность и независимость от точки \(A\) означает, что \(OO_1\) есть кратчайший отрезок из \(O\) к \(\alpha\), то есть перпендикуляр к \(\alpha\). Иначе говоря, чтобы равенство \(R^{2}=OO_1^{2}+r^{2}\) оставалось верным для всех точек \(A\) окружности, угол при \(O_1\) обязан быть прямым, что и делает \(OO_1\) перпендикуляром к \(\alpha\).

Интуитивно это связано с тем, что вся окружность сечения лежит на сфере радиуса \(R\), а её центр \(O_1\) в плоскости \(\alpha\) является геометрическим местом точек, от которых все точки окружности равноудалены. Единственный способ обеспечить постоянство \(OA\) при изменении \(A\) вдоль окружности — чтобы \(O\) проецировался на \(\alpha\) именно в \(O_1\). Тогда разложение радиуса \(OA\) на ортогональные компоненты относительно \(\alpha\) даёт \(OA^{2}=OO_1^{2}+O_1A^{2}\), где \(OO_1\) — нормальная составляющая, а \(O_1A\) — тангенциальная в плоскости \(\alpha\). Следовательно, \(OO_1 \perp \alpha\).