ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера пересечена плоскостью, расстояние от которой до центра сферы равно 6 см. Длина линии пересечения сферы с плоскостью равна \(16\pi\) см. Найдите радиус сферы.

Длина окружности сечения: \(16\pi=2\pi r\Rightarrow r=8\text{ см}\), где \(r\) — радиус секущей окружности.

Радиус сферы: \(R=\sqrt{r^{2}+d^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10\text{ см}\).

1. Рассмотрим сферу, пересечённую плоскостью на расстоянии \(d=6\text{ см}\) от её центра. Линия пересечения — окружность (экваториальное сечение). Её длина дана: \(16\pi\text{ см}\). Формула длины окружности связана с радиусом сечения \(r\) как \(16\pi=2\pi r\). Делим обе части на \(2\pi\): получаем \(r=8\text{ см}\). Этот \(r\) — радиус полученной окружности в плоскости сечения, а \(d\) — перпендикулярное расстояние от центра сферы до этой плоскости.

2. Геометрическая связь между радиусом сферы \(R\), радиусом окружности сечения \(r\) и расстоянием \(d\) основана на прямоугольном треугольнике в меридиональном сечении: один катет равен \(d\), другой катет равен \(r\), гипотенуза равна \(R\). Следовательно, по теореме Пифагора: \(R^{2}=r^{2}+d^{2}\). Подставляем найденные значения: \(R^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100\). Отсюда \(R=\sqrt{100}=10\text{ см}\). Здесь важно, что берём положительное значение корня, поскольку радиус — длина.

3. Итог: радиус окружности сечения найден из формулы периметра, а радиус сферы — через пространственную версию теоремы Пифагора, где \(R\) образует гипотенузу треугольника между центром сферы и любой точкой окружности сечения. Численно: \(r=8\text{ см}\), \(d=6\text{ см}\), \(R=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64+36}=10\text{ см}\). Ответ: \(R=10\text{ см}\).