ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Пересечением шара радиуса 13 см и плоскости является круг, площадь которого равна \(25\pi\) см\(^2\). Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Радиус шара \(R=13\) см, площадь круга сечения \(S=25\pi\) см\(^2\). Тогда радиус круга сечения \(r\) находим из \(S=\pi r^{2}\), откуда \(r^{2}=25\) и \(r=5\) см.

Расстояние от центра шара до плоскости \(d\) по теореме Пифагора для радиуса шара: \(R^{2}=r^{2}+d^{2}\). Тогда \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) см.

Радиус шара \(R=13\) см, а площадь круга, полученного при пересечении шара плоскостью, равна \(S=25\pi\) см\(^2\). Радиус этого круга сечения \(r\) связан с площадью формулой \(S=\pi r^{2}\). Подставляя значение площади, получаем уравнение \(\pi r^{2}=25\pi\). Делим обе части на \(\pi\) и находим \(r^{2}=25\), откуда \(r=5\) см. Это означает, что круг сечения имеет радиус 5 см, а его центр лежит на линии, соединяющей центр шара с точкой кратчайшего расстояния до плоскости.

Для нахождения расстояния от центра шара до плоскости используется геометрическая связь между радиусом шара, радиусом круга сечения и искомым расстоянием. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна радиусу шара \(R\), один катет равен радиусу круга \(r\), а второй катет равен искомому расстоянию \(d\) от центра шара до плоскости. По теореме Пифагора выполняется соотношение \(R^{2}=r^{2}+d^{2}\). Это соотношение возникает из того, что плоскость сечения перпендикулярна отрезку, соединяющему центр шара с центром круга сечения, а радиус круга \(r\) лежит в самой плоскости, образуя с \(d\) прямой угол.

Подставим численные значения в формулу: \(d=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) см. Следовательно, расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \(12\) см. Эта величина получается как длина перпендикуляра от центра шара к плоскости, подтверждая, что чем меньше радиус круга сечения относительно радиуса шара, тем больше удалена плоскость от центра.