ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 13.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Через конец диаметра шара радиуса \(R\) проведена плоскость, образующая с этим диаметром угол \(\alpha\), \(\alpha \neq 90^\circ\). Найдите площадь образовавшегося сечения шара.

Плоскость пересекает шар по окружности радиуса \(r\). Расстояние от центра шара до плоскости: \(d=R\cos\alpha\). Тогда \(r^2=R^2-d^2=R^2(1-\cos^2\alpha)=R^2\sin^2\alpha\).

Площадь сечения окружностью: \(S=\pi r^2=\pi R^2\sin^2\alpha\).

1) Рассмотрим шар радиуса \(R\) и его диаметр, через конец которого проведена плоскость, образующая угол \(\alpha\) с этим диаметром. Центр шара обозначим \(O\). Пусть прямая, содержащая диаметр, имеет направление, а плоскость наклонена так, что минимальное расстояние от \(O\) до этой плоскости равно проекции радиуса \(R\) на нормаль к плоскости. По определению угла между прямой и плоскостью это расстояние находится как \(d=R\cos\alpha\), поскольку конец диаметра лежит в плоскости, а центр шара на расстоянии \(R\) от этого конца по диаметру.

2) Сечение шара плоскостью есть окружность. Ее радиус \(r\) связан с расстоянием \(d\) от центра шара до плоскости теоремой Пифагора в трёхмерном пространстве: \(r^2=R^2-d^2\). Подставляя найденное \(d\), получаем \(r^2=R^2-(R\cos\alpha)^2=R^2(1-\cos^2\alpha)=R^2\sin^2\alpha\). Таким образом, радиус окружности сечения равен \(r=R\sin\alpha\). Это соответствует геометрическому смыслу: чем больше наклон к диаметру (ближе к \(90^\circ\)), тем дальше плоскость от центра, тем больше окружность сечения, и наоборот, при малом \(\alpha\) плоскость близка к диаметру и окружность мала.

3) Площадь образовавшегося сечения равна площади этой окружности: \(S=\pi r^2\). Используя найденное выражение для \(r^2\), имеем \(S=\pi R^2\sin^2\alpha\). Эта формула прямо показывает зависимость площади от угла \(\alpha\): при \(\alpha=0^\circ\) получаем \(S=0\), а при \(\alpha\) стремящемся к \(90^\circ\) площадь стремится к площади большого круга шара \(S=\pi R^2\), что согласуется с граничными случаями. Таким образом, искомая площадь сечения: \(S=\pi R^2\sin^2\alpha\).