ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны сфера радиуса 6 см и плоскость \(\alpha\). Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости \(\alpha\), чтобы:

1) сфера и плоскость не имели общих точек;

2) сфера и плоскость имели одну общую точку;

3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность;

4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

Длина пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}+12^{2}}=\sqrt{16+36+144}=\sqrt{196}=14\).

Радиус описанной сферы равен половине диагонали: \(R=\frac{d}{2}=\frac{14}{2}=7\ \text{см}\).

1) Идея: чтобы сфера была описана вокруг прямоугольного параллелепипеда, её центр должен совпадать с центром параллелепипеда, а диаметр сферы равен пространственной диагонали параллелепипеда, соединяющей противоположные вершины. Поэтому достаточно найти длину этой диагонали и взять её половину. Пространственная диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами \(a\), \(b\), \(c\) находится по формуле трёхмерного Пифагора: \(d=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\). В нашем случае \(a=4\ \text{см}\), \(b=6\ \text{см}\), \(c=12\ \text{см}\).

2) Вычислим диагональ последовательно, чтобы было ясно, откуда получается каждое число. Сначала возьмём квадраты рёбер: \(4^{2}=16\), \(6^{2}=36\), \(12^{2}=144\). Складываем: \(16+36+144=196\). Тогда длина диагонали равна \(d=\sqrt{196}=14\ \text{см}\). Этот результат согласуется с тем, что диагональ должна быть больше любого ребра и логично вписывается в размеры тела, поскольку \(14\) больше \(12\), но меньше, чем сумма любых двух рёбер, как и должно быть для диагонали.

3) Поскольку диаметр описанной сферы равен пространственной диагонали \(d\), радиус равен половине диагонали: \(R=\frac{d}{2}\). Подставляя найденное значение, получаем \(R=\frac{14}{2}=7\ \text{см}\). Итог: центр сферы — в центре параллелепипеда, все вершины равноудалены от него на расстояние \(R\), и это расстояние равно \(7\ \text{см}\), что и требовалось найти.