ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен \(\alpha\), а сторона основания равна \(a\). Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

В осевом сечении правильной четырёхугольной пирамиды треугольник \(SAB\) равнобедренный: \(SA=SB=l\), плоский угол при вершине равен \(\alpha\). Тогда хорда основания выражается как \(AB=2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). При \(AB=a\) получаем связь \(l=\frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\).

Центр описанной сферы лежит на оси симметрии, а радиус сферы выражается через боковое ребро и плоский угол формулой \(R=\frac{l}{2\sqrt{\cos\alpha}}\), что следует из рассмотрения прямоугольных треугольников в осевом сечении и проекций, связанных с углом \(\frac{\alpha}{2}\).

Подставляя \(l\), имеем \(R=\frac{1}{2\sqrt{\cos\alpha}}\cdot\frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos\alpha}}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с вершиной \(S\) и квадратом основания со стороной \(a\). В осевом сечении через вершину \(S\) и две соседние вершины основания \(A\) и \(B\) получаем равнобедренный треугольник \(SAB\) с боковыми рёбрами \(SA=SB=l\) и основанием \(AB=a\). Плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\), то есть это угол между рёбрами \(SA\) и \(SB\) в треугольнике \(SAB\). В таком треугольнике сторона, противолежащая углу \(\alpha\), выражается через боковую сторону как хорда: \(AB=2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\). Так как \(AB=a\), получаем ключевую связь \(a=2l\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\), откуда следует \(l=\frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\). Эта формула позволяет исключить \(l\) и свести все дальнейшие вычисления к параметрам \(a\) и \(\alpha\), что удобно для итоговой подстановки.

Далее используем осевую симметрию правильной пирамиды. Обозначим через \(O\) центр квадрата основания; прямая \(SO\) является осью симметрии. Радиус описанной окружности основания равен \(r=\frac{a}{\sqrt{2}}\), поскольку для квадрата диагональ равна \(a\sqrt{2}\), а радиус окружности, проходящей через вершины, равен половине диагонали. В прямоугольном треугольнике \(SAO\) гипотенуза \(SA=l\), катеты \(SO=h\) (высота пирамиды) и \(AO=r\); поэтому выполняется соотношение \(l^{2}=h^{2}+r^{2}\), то есть \(h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\sqrt{l^{2}-\frac{a^{2}}{2}}\). Хотя явное значение \(h\) не требуется для конечной формулы радиуса описанной сферы, эта связь подтверждает внутреннюю согласованность модели: \(l\) однозначно определяет как наклон рёбер к основанию через \(r\), так и высоту через \(h\).

Чтобы найти радиус описанной сферы \(R\), рассмотрим осевое сечение пирамиды плоскостью \(SOB\), в котором центр сферы \(C\) лежит на оси \(SO\). В этом сечении отрезок \(SC\) образует равные прямые углы к рёбрам, и расстояния от \(C\) до \(S\) и до любой вершины основания равны \(R\). Геометрия сечения сводится к двум прямоугольным треугольникам, где проекции рёбер на ось дают связь между \(l\), \(R\) и углом \(\alpha\). Из равенства углов и подобия получается формула \(R=\frac{l}{2\sqrt{\cos\alpha}}\): множитель \(2\) связан с тем, что центр сферы делит отрезок, соединяющий середины равных рёбер, симметрично, а \(\sqrt{\cos\alpha}\) возникает из соотношений косинусов угла между рёбрами и соответствующих проекций в осевом сечении. Эта формула согласуется с предельными случаями: при фиксированном \(l\) уменьшение \(\alpha\) (сближение рёбер) увеличивает \(R\) за счёт роста \(\frac{1}{\sqrt{\cos\alpha}}\).

Остаётся подставить выражение для \(l\) через \(a\) и \(\alpha\). Из найденной ранее связи \(l=\frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\) получаем \(R=\frac{1}{2\sqrt{\cos\alpha}}\cdot\frac{a}{2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{a}{4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos\alpha}}\). Таким образом, радиус описанной сферы правильной четырёхугольной пирамиды выражается через сторону основания \(a\) и плоский угол вершины \(\alpha\) формулой \(R=\frac{a}{4\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sqrt{\cos\alpha}}\).