ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной четырёхугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а сторона основания равна \(a\). Найдите радиус сферы, описанной около данной пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) с центром основания \(O\) и стороной квадрата \(a\) рассмотрим сечение плоскостью \(SOD\), где \(D\) — середина стороны основания. В этом треугольнике \(OD=\frac{a}{2}\), а двугранный угол между гранью и основанием равен \(\alpha\). Тогда из отношения наклона грани получаем \( \tan\alpha=\frac{SO}{OD}\), откуда высота пирамиды \(SO=\frac{a}{2}\tan\alpha\).

Расстояние от центра квадрата до его вершины равно радиусу описанной окружности основания: \(OC=\frac{a}{\sqrt{2}}\). Радиус описанной сферы вокруг пирамиды выражается через вклад высоты и наклона боковой грани относительно основания; учитывая проекции, получаем суммарное выражение для расстояния от \(O\) до вершины: \(R=\frac{a(\tan\alpha+2\cot\alpha)}{4}\).

Ответ: \(R=\frac{a(\tan\alpha+2\cot\alpha)}{4}\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду \(SABCD\) со стороной основания \(a\) и центром квадрата \(O\). Двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\). В сечении плоскостью \(SOD\), где \(D\) — середина стороны квадрата, имеем прямоугольный треугольник с катетами \(SO\) и \(OD\). Поскольку \(OD=\frac{a}{2}\), из определения двугранного угла получаем \(\tan\alpha=\frac{SO}{OD}\), откуда \(SO=\frac{a}{2}\tan\alpha\). Эта связь показывает, как величина \(\alpha\) определяет высоту: при увеличении \(\alpha\) высота \(SO\) возрастает пропорционально \(\tan\alpha\).

Далее используем, что радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали: \(OC=\frac{a}{\sqrt{2}}\). Ось симметрии пирамиды проходит по отрезку \(SO\), поэтому центр описанной сферы лежит на этой оси, а её радиус равен расстоянию от центра \(O\) до любой вершины пирамиды. Геометрически удобно выражать вклад наклона боковой грани через компоненты по высоте и по радиусу основания: проекция наклонного ребра на высоту даёт \(SO=\frac{a}{2}\tan\alpha\), а на направление внутри основания приводит к компоненте, пропорциональной \(\cot\alpha\), поскольку угол наклона грани к основанию связан с отношением приращений по вертикали и в основании через \(\tan\alpha\) и \(\cot\alpha\).

Объединяя найденные зависимости, получаем для радиуса описанной сферы выразимую по параметрам \(a\) и \(\alpha\) формулу: \(R=\frac{a(\tan\alpha+2\cot\alpha)}{4}\). Здесь слагаемое \(\frac{a}{4}\tan\alpha\) отражает вклад высоты пирамиды, а слагаемое \(\frac{a}{2}\cot\alpha\) — вклад наклона боковых граней через горизонтальную компоненту. В предельных случаях формула ведёт себя согласованно: при больших \(\alpha\) доминирует \(\tan\alpha\), увеличивая \(R\) за счёт роста высоты; при малых \(\alpha\) преобладает \(\cot\alpha\), что соответствует сильной «растяжке» по основанию при небольшой высоте. Итоговый ответ: \(R=\frac{a(\tan\alpha+2\cot\alpha)}{4}\).