ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шар вписана правильная треугольная пирамида, сторона основания которой равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Найдите радиус шара.

Основание — правильный треугольник со стороной \(6\). Его описанная окружность имеет радиус \(R_{\text{осн}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Центр шара лежит на высоте пирамиды на оси, а расстояние от центра основания до центра шара равно \(OO_1\), где в прямоугольном треугольнике с углом при вершине ребра \(30^\circ\): \(\tan 30^\circ=\frac{OO_1}{R_{\text{осн}}}\Rightarrow OO_1=\frac{R_{\text{осн}}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\).

Радиус шара \(R\) равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(R_{\text{осн}}=2\sqrt{3}\) и \(OO_1=2\): \(R=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{12+4}=4\) см.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду \(SABC\), вписанную в шар. Основание \(ABC\) — равносторонний треугольник со стороной \(a=6\). Центр шара совпадает с центром описанной сферы около пирамиды и лежит на оси симметрии, проходящей через вершину \(S\) и центры \(O\) (центроид основания и центр вписанной окружности треугольника) и \(O_1\) (центр описанной окружности треугольника \(ABC\)). Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен \(R_{\text{осн}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Точка \(O_1\) является основанием перпендикуляра из центра шара на плоскость основания, поэтому отрезок \(OO_1\) является катетом в прямоугольном треугольнике, который образован осью пирамиды и радиусом \(R_{\text{осн}}\).

По условию боковое ребро \(SC\) образует с плоскостью основания угол \(30^\circ\). Это означает, что в треугольнике, образованном ребром \(SC\), высотой оси к плоскости основания и радиусом \(R_{\text{осн}}\), выполняется отношение \(\tan 30^\circ=\frac{OO_1}{R_{\text{осн}}}\). Подставляя \(\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и найденный \(R_{\text{осн}}=2\sqrt{3}\), получаем \(OO_1=\tan 30^\circ\cdot R_{\text{осн}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}=2\). Здесь \(OO_1\) — вертикальное расстояние от плоскости основания до центра сферы, то есть один из катетов прямоугольного треугольника, второй катет — горизонтальный \(R_{\text{осн}}=2\sqrt{3}\).

Радиус описанной сферы \(R\) равен расстоянию от центра сферы до любой вершины пирамиды. Возьмем вершину \(C\) основания: отрезок \(O_1C\) равен \(R_{\text{осн}}=2\sqrt{3}\), а отрезок \(OO_1=2\) перпендикулярен плоскости основания. Тогда \(OC\) является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами \(OO_1\) и \(O_1C\). Следовательно, по теореме Пифагора \(R=OC=\sqrt{OO_1^{2}+O_1C^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4\). Итак, радиус шара равен \(4\) см.