ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, делит её высоту на отрезки длиной 6 см и 3 см. Найдите сторону основания пирамиды.

Высота пирамиды делится центром описанной сферы на отрезки 6 см (к вершине) и 3 см (к основанию), значит расстояния от центра сферы: до вершины \(S\) равно \(6\), до вершины основания равно \(\sqrt{R^2+3^2}=\sqrt{R^2+9}\). По равенству радиусов описанной сферы: \(\sqrt{R^2+9}=6 \Rightarrow R^2=27 \Rightarrow R=3\sqrt{3}\).

В правильном треугольнике основание имеет радиус описанной окружности \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\), следовательно \(\frac{a}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3} \Rightarrow a=9\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с вершиной \(S\) и основанием \(ABC\), где \(ABC\) — правильный треугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания \(O\). Центр описанной сферы лежит на оси симметрии пирамиды (то есть на высоте), и по условию он делит эту высоту на два отрезка: \(6\) см до вершины \(S\) и \(3\) см до плоскости основания. Это означает, что расстояние от центра сферы до плоскости основания равно \(3\), а расстояние до вершины \(S\) равно \(6\). Обозначим через \(R\) радиус описанной окружности основания (правильного треугольника). Тогда любая вершина основания, например \(A\), находится от центра сферы на расстоянии, которое является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(R\) (горизонтальная проекция в плоскости основания) и \(3\) (перпендикулярное расстояние до плоскости основания).

Так как центр описанной сферы равноудалён от всех четырёх вершин пирамиды, расстояние до вершины \(S\) равно расстоянию до любой вершины основания. Следовательно, выполняется равенство \(6=\sqrt{R^{2}+3^{2}}=\sqrt{R^{2}+9}\). Возведя в квадрат, получаем \(36=R^{2}+9\), откуда \(R^{2}=27\) и далее \(R=3\sqrt{3}\). Этот результат согласуется с геометрическим смыслом: больший отрезок вдоль высоты направлен к вершине, а меньший — к основанию, поэтому центр сферы находится ближе к основанию и формирует с вершинами основания прямоугольные треугольники, где вертикальный катет фиксирован равным \(3\), а горизонтальный катет равен \(R\).

В правильном треугольнике радиус описанной окружности выражается через сторону \(a\) формулой \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляя найденное значение \(R=3\sqrt{3}\), получаем \(\frac{a}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\). Умножив обе части на \(\sqrt{3}\), приходим к \(a=9\). Таким образом, сторона основания равна \(9\) см, что следует из равенства расстояний от центра описанной сферы до вершины пирамиды и до вершин основания, а также из стандартной связи между радиусом описанной окружности правильного треугольника и его стороной.