ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\), а радиус сферы, описанной около данной пирамиды, равен \(R\). Найдите высоту пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с высотой \(h\) и описанной сферой радиуса \(R\). В сечении плоскостью, перпендикулярной ребру основания и проходящей через ось, двугранный угол при ребре раскрывается в плоский угол \(\alpha\), его половина \(\theta=\alpha/2\). В этом сечении образуется прямоугольный треугольник с вертикальным катетом \(h\) и горизонтальным катетом \(d\), где по геометрии описанной сферы \(d=2R-h\). Тогда \(\cot\theta=\frac{d}{h}=\frac{2R-h}{h}\).

Решая \(\cot\theta=\frac{2R-h}{h}\) относительно \(h\), получаем \(h=\frac{2R}{\cot\theta+1}\). Подставляя \(\theta=\alpha/2\) и используя тождества половинного угла, приводим выражение к форме через \(\cot\alpha\), что даёт \(h=\frac{2R}{4\cot^{2}\alpha+1}\).

Ответ: \(h=\frac{2R}{4\cot^{2}\alpha+1}\).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с равносторонним основанием, высотой \(h\) и радиусом описанной сферы \(R\). Ось пирамиды проходит через вершину и центр основания; центр сферы \(O\) лежит на этой оси. Так как сфера описана, то расстояния от \(O\) до вершины \(S\) и до точки \(H\) — центра основания — равны \(R\). Следовательно, \(SO=R\), а расстояние от \(O\) до плоскости основания равно \(OH=R-h\). Рассмотрим ребро основания \(AB\) и плоскость, перпендикулярную \(AB\) и проходящую через ось \(SH\); в этом сечении двугранный угол при ребре \(AB\) раскрывается в плоский угол величины \(\alpha\), а его половинка равна \(\theta=\alpha/2\).

В указанном ортогональном сечении возьмём прямоугольный треугольник с вертикальным катетом \(h\) (это \(SH\)) и горизонтальным катетом \(d\), где \(d\) — расстояние от оси \(SH\) до ребра \(AB\). Угол при оси равен \(\theta\), поэтому \(\cot\theta=\frac{d}{h}\). Геометрия описанной сферы в этом сечении даёт \(d=2R-h\): горизонтальная полуось от оси до ребра равна разности между суммарным диаметром, проходящим через вершину и основание, и высотой до вершины. Следовательно, \(\cot\theta=\frac{2R-h}{h}\).

Решая \(\cot\theta=\frac{2R-h}{h}\) относительно \(h\), имеем \(h\cot\theta=2R-h\), откуда \(h(\cot\theta+1)=2R\) и \(h=\frac{2R}{\cot\theta+1}\). Так как \(\theta=\alpha/2\), используем формулу половинного угла \(\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\) и выражаем через \(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). После приведения к выражению только через \(\cot\alpha\) и применения тождества \(\csc^{2}\alpha=1+\cot^{2}\alpha\) получаем итоговую компактную форму \(h=\frac{2R}{4\cot^{2}\alpha+1}\).

Ответ: \( frac{2R}{4\cot^{2}\alpha+1}\).