ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра, ребро которого равно \(a\).

Радиус окружности, описанной около грани (правильного треугольника), равен \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Длина от центра основания \(O\) до вершины \(D\) равна \(DO = a \sqrt{\frac{2}{3}}\).

По теореме Пифагора для радиуса описанного шара \(R\) имеем уравнение: \(\left(a \sqrt{\frac{2}{3}} — R\right)^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = R^2\).

Раскрывая скобки и упрощая, получаем: \(a^2 = 2 a R \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Отсюда находим радиус описанного шара: \(R = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{4}\).

Рассмотрим правильный тетраэдр со стороной \(a\). Каждая грань — правильный треугольник с длиной стороны \(a\). Радиус окружности, описанной около этой грани, равен \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Это следует из формулы для описанной окружности правильного треугольника, где радиус равен стороне, делённой на корень из трёх. Центр описанного шара тетраэдра лежит на оси, проходящей через центр основания и вершину \(D\), так как тетраэдр правильный и симметричный.

Длина от центра основания \(O\) до вершины \(D\) вычисляется по теореме Пифагора. Поскольку основание — правильный треугольник, расстояние от центра основания до одной из его вершин равно \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Тогда длина от вершины \(D\) до центра основания \(O\) равна \(DO = \sqrt{a^{2} — \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2}} = a \sqrt{\frac{2}{3}}\). Это расстояние соответствует высоте тетраэдра, проведённой из вершины \(D\) к основанию.

Для нахождения радиуса описанного шара \(R\) используем теорему Пифагора в пространстве. Рассмотрим треугольник с вершинами в центре основания \(O\), в вершине \(D\) и на поверхности шара. Радиус \(R\) — это расстояние от центра шара до любой вершины тетраэдра. По условию, центр шара лежит на отрезке \(OD\), поэтому расстояние от центра шара до основания равно \(a \sqrt{\frac{2}{3}} — R\), а расстояние от центра шара до основания по горизонтали равно \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Тогда уравнение по теореме Пифагора: \(\left(a \sqrt{\frac{2}{3}} — R\right)^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^{2} = R^{2}\).

Раскроем скобки и упростим: \(a^{2} \frac{2}{3} — 2 a R \sqrt{\frac{2}{3}} + R^{2} + \frac{a^{2}}{3} = R^{2}\). Сокращая \(R^{2}\) с обеих сторон, получаем \(a^{2} = 2 a R \sqrt{\frac{2}{3}}\). Отсюда выразим радиус: \(R = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}\). Таким образом, радиус описанного шара правильного тетраэдра равен \(\frac{a \sqrt{6}}{4}\).