ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольной пирамиде \(DABC\) \(AB = a\), \( \angle ACB = \angle ADB = 90^\circ\). Найдите радиус сферы, описанной около пи ло пирамиды.

Рассмотрим точку \(O\) — центр описанной сферы.

1. Так как \( \angle ACB = 90^\circ \), то \(O\) — середина отрезка \(AB\). Значит, расстояние от \(O\) до \(A\) равно \(r = \frac{a}{2}\).

2. Из условия \( \angle ADB = 90^\circ \) и из геометрии пирамиды имеем уравнение для радиуса сферы:

\((DO — r)^2 + \frac{a^2}{4} = r^2\),

где \(DO\) — высота пирамиды.

3. Решая уравнение, получаем \(r = \frac{a}{2}\).

Ответ: радиус описанной сферы \(r = \frac{a}{2}\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABC\) с прямым углом в точке \(C\), то есть \(\angle ACB = 90^\circ\). По свойству прямоугольного треугольника, описанная окружность имеет центр в середине гипотенузы \(AB\). Обозначим этот центр как точку \(O\). Тогда радиус описанной окружности вокруг треугольника \(ABC\) равен половине длины гипотенузы: \(r = \frac{a}{2}\), где \(a = AB\).

2. Теперь рассмотрим пирамиду \(DABC\), где также задано, что \(\angle ADB = 90^\circ\). Центр описанной сферы, обозначенный как \(O\), должен находиться на одинаковом расстоянии от всех вершин пирамиды. Мы уже знаем, что расстояние от \(O\) до \(A\) и \(B\) равно \(r = \frac{a}{2}\). Чтобы найти радиус сферы, нужно учесть высоту \(DO\) от вершины \(D\) до центра сферы \(O\). Из условия перпендикулярности \(\angle ADB = 90^\circ\) следует, что точка \(D\) расположена так, что расстояние от \(D\) до \(O\) и расстояния от \(A\) и \(B\) до \(O\) связаны уравнением:

\((DO — r)^2 + \frac{a^2}{4} = r^2\),

где \(\frac{a^2}{4}\) — квадрат половины стороны \(AB\).

3. Решая уравнение, мы видим, что \(DO = r\), то есть высота от \(D\) до центра сферы совпадает с радиусом. Следовательно, радиус описанной сферы равен \(r = \frac{a}{2}\). Таким образом, центр описанной сферы — это точка \(O\), расположенная в середине отрезка \(AB\), а радиус сферы равен половине длины ребра \(AB\).