ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.

Пусть \( O \) — центр описанной окружности основания с радиусом \( r \), \( H \) — основание высоты \( SH \), а боковые рёбра равны \( l \).

Точка \( O’ \) лежит на высоте \( SH \), то есть \( O’ = H + t \cdot \vec{SH} \).

Расстояние от \( O’ \) до вершин основания равно \( \sqrt{r^2 + t^2} \), а до вершины \( S \) равно \( |l — t| \).

Для описанной сферы \( O’A = O’S \), значит \( \sqrt{r^2 + t^2} = |l — t| \).

Возводим в квадрат: \( r^2 + t^2 = (l — t)^2 = l^2 — 2lt + t^2 \).

Сокращаем \( t^2 \): \( r^2 = l^2 — 2lt \).

Отсюда \( t = \frac{l^2 — r^2}{2l} \).

Значит центр описанной сферы \( O’ \) лежит на высоте \( SH \), и такая сфера существует.

Рассмотрим пирамиду с основанием и вершиной \( S \), у которой боковые рёбра равны длине \( l \). Пусть \( O \) — центр окружности, описанной около основания, с радиусом \( r \), а \( H \) — основание высоты \( SH \), перпендикулярной плоскости основания. Высота \( SH \) — прямая, проходящая через \( H \) и вершину \( S \), перпендикулярная плоскости основания. Мы хотим доказать, что существует сфера, проходящая через все вершины пирамиды, и её центр лежит на прямой \( SH \).

Пусть точка \( O’ \) лежит на высоте \( SH \), то есть \( O’ = H + t \cdot \vec{SH} \), где \( t \) — некоторое число. Тогда расстояние от \( O’ \) до любой вершины основания равно \( \sqrt{r^2 + t^2} \), так как \( O’ \) удалён от центра основания \( O \) на расстояние \( t \) вдоль перпендикуляра к плоскости основания. Расстояние от \( O’ \) до вершины \( S \) равно \( |l — t| \), так как \( S \) находится на расстоянии \( l \) от \( O \) по той же прямой. Чтобы описать сферу, необходимо, чтобы расстояния от \( O’ \) до вершин основания и до вершины \( S \) были равны, то есть \( \sqrt{r^2 + t^2} = |l — t| \).

Возведём это равенство в квадрат: \( r^2 + t^2 = (l — t)^2 = l^2 — 2lt + t^2 \). Сократим \( t^2 \) с обеих сторон, получим \( r^2 = l^2 — 2lt \). Выразим \( t \): \( 2lt = l^2 — r^2 \), отсюда \( t = \frac{l^2 — r^2}{2l} \). Значит точка \( O’ \), находящаяся на высоте \( SH \) на расстоянии \( t \) от основания \( H \), является центром сферы, описанной вокруг пирамиды. Таким образом, при равенстве боковых рёбер центр описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.