ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольник с углом \(\alpha\) между диагоналями, а каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Радиус шара, описанного около данной пирамиды, равен \(R\). Найдите площадь основания пирамиды.

Пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали прямоугольника основания, между которыми угол \(\alpha\). Тогда площадь основания равна \(S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\).

Радиус описанной сферы равен \(R\), а угол между боковым ребром и основанием — \(\beta\). Тогда длины диагоналей связаны с \(R\) и \(\beta\) так, что площадь основания выражается формулой \(S = 2 R^2 \sin 2\beta \sin \alpha\).

Ответ: площадь основания пирамиды равна \(S = 2 R^2 \sin 2\beta \sin \alpha\).

Основание пирамиды — это прямоугольник, у которого диагонали образуют угол \(\alpha\). Площадь прямоугольника можно выразить через длины диагоналей и угол между ними. Если диагонали \(AC\) и \(BD\), то площадь основания равна произведению половин диагоналей на синус угла между ними: \(S_{основания} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \alpha\). Это базовая геометрическая формула, которая позволяет найти площадь любой параллелограмма через диагонали и угол между ними, а для прямоугольника она применима напрямую.

Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Это значит, что боковые ребра наклонены к основанию под углом \(\beta\), и высота пирамиды связана с длиной бокового ребра и этим углом. Радиус описанной около пирамиды сферы равен \(R\). Из геометрии пирамиды и сферы известно, что площадь основания связана с радиусом описанной сферы и углом \(\beta\) следующим образом: \(S_{основания} = 2 R^2 \sin 2\beta \sin \alpha\). Здесь используется двойной угол \(2\beta\) для учета полного наклона боковых ребер относительно основания.

Таким образом, итоговая формула для площади основания пирамиды учитывает три ключевых параметра: радиус описанной сферы \(R\), угол \(\alpha\) между диагоналями основания и угол \(\beta\) между боковым ребром и плоскостью основания. Формула \(S_{основания} = 2 R^2 \sin 2\beta \sin \alpha\) выражает площадь через эти параметры, что удобно для решения задач, где известен радиус описанной сферы и углы, а длины сторон основания неизвестны.