ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В сферу радиуса \(R\) вписан куб. Найдите площадь поверхности этого куба.

Вписанный в сферу куб имеет диагональ, равную диаметру сферы: \(d=2R\). Диагональ куба выражается через ребро \(a\) как \(d=a\sqrt{3}\), значит \(a=\frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Площадь поверхности куба \(S=6a^{2}=6\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^{2}=6\cdot\frac{4R^{2}}{3}=8R^{2}\).

Ответ: \(8R^{2}\).

1. Вписанный куб касается сферы всеми вершинами, поэтому пространственная диагональ куба совпадает с диаметром сферы. Диаметр сферической поверхности равен удвоенному радиусу, то есть \(d=2R\). Для куба пространственная диагональ выражается через ребро как \(d=a\sqrt{3}\), поскольку по теореме Пифагора диагональ квадрата основания равна \(a\sqrt{2}\), а добавляя высоту \(a\) в третьем измерении, получаем \(a\sqrt{2+a^{2}}=a\sqrt{3}\). Приравнивая диагонали, получаем точное соотношение между ребром куба и радиусом сферы: \(a=\frac{2R}{\sqrt{3}}\).

2. Далее вычислим площадь полной поверхности куба. Площадь одной грани равна \(a^{2}\), а всего граней шесть, следовательно общая площадь равна \(S=6a^{2}\). Подставим найденное выражение для ребра в формулу площади: \(S=6\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^{2}\). Возведем в квадрат дробь: \(\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{4R^{2}}{3}\), так как \((2R)^{2}=4R^{2}\) и \((\sqrt{3})^{2}=3\). Тогда получаем промежуточный результат для общей площади: \(S=6\cdot\frac{4R^{2}}{3}\).

3. Выполним сокращение и завершим вычисление. Число \(6\) делится на \(3\), давая множитель \(2\), поэтому \(6\cdot\frac{4R^{2}}{3}=\frac{24R^{2}}{3}=8R^{2}\). Таким образом, окончательное выражение для площади поверхности куба, вписанного в сферу радиуса \(R\), равно \(S=8R^{2}\). Ответ совпадает с вычислением из условия: \(8R^{2}\).