ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см, а боковые рёбра пирамиды равны. Найдите высоту пирамиды, если радиус шара, описанного около этой пирамиды, равен 13 см.

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24, тогда гипотенуза \(AC = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = 26\) см.

Радиус описанной сферы \(R = 13\) см, а \(n = \frac{1}{2} AC = 13\) см — это расстояние от центра основания до середины гипотенузы.

Обозначим высоту пирамиды \(DO = h\). По теореме Пифагора для радиуса сферы: \((DO — R)^2 + n^2 = R^2\).

Подставляем числа: \((h — 13)^2 + 13^2 = 13^2\).

Отсюда \((h — 13)^2 = 0 \Rightarrow h = 13\) см.

Ответ: высота пирамиды равна \(13\) см.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см. Чтобы найти длину гипотенузы \(AC\), используем теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Записываем: \(AC^2 = 10^2 + 24^2\). Вычисляем: \(10^2 = 100\), \(24^2 = 576\), значит \(AC^2 = 100 + 576 = 676\). Следовательно, \(AC = \sqrt{676} = 26\) см. Это важно, потому что гипотенуза служит основанием для дальнейших вычислений.

Радиус описанной около пирамиды сферы равен 13 см. Центр этой сферы находится на расстоянии \(n\) от середины гипотенузы \(AC\). Поскольку сфера описана вокруг пирамиды, центр лежит на высоте, которая является перпендикуляром к основанию. Расстояние \(n\) от центра основания до центра сферы равно половине гипотенузы, то есть \(n = \frac{1}{2} AC = \frac{26}{2} = 13\) см. Это ключевой момент, так как позволяет связать радиус сферы с высотой пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды через \(DO = h\). По теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой пирамиды, радиусом сферы и расстоянием \(n\), выполняется равенство: \((h — R)^2 + n^2 = R^2\). Подставляем известные значения: \((h — 13)^2 + 13^2 = 13^2\). Вычитаем \(13^2\) из обеих частей: \((h — 13)^2 = 0\). Отсюда следует, что \(h — 13 = 0\), значит высота пирамиды равна \(h = 13\) см. Таким образом, высота пирамиды совпадает с радиусом описанной сферы.