ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого равен \(60^\circ\), а противолежащая ему сторона \(4\sqrt{3}\) см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см. Найдите расстояние от центра шара, описанного около данной пирамиды, до плоскости её основания.

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \(4\sqrt{3}\) и углом \(60^\circ\).

Высота треугольника основания равна \(h_1 = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\).

Боковые ребра равны 5, значит высота пирамиды \(h\) найдётся из прямоугольного треугольника с гипотенузой 5 и катетом \( \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\):

\(h = \sqrt{5^2 — (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 — 12} = \sqrt{13}\).

Центр шара лежит на высоте пирамиды и делит её в отношении \(3:1\) от вершины.

Расстояние от центра шара до плоскости основания равно \(\frac{h}{4} = \frac{\sqrt{13}}{4}\).

Ответ: расстояние равно \(\frac{7}{6}\) (см).

Основание пирамиды — треугольник с углом 60 градусов и сторона напротив этого угла равна \(4\sqrt{3}\). Такой треугольник можно считать равносторонним, так как угол 60 градусов свойственен равностороннему треугольнику. Высота этого треугольника вычисляется по формуле для высоты равностороннего треугольника: \(h_1 = \frac{a \sqrt{3}}{2}\), где \(a = 4\sqrt{3}\). Подставляя, получаем \(h_1 = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\). Это высота основания пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны 5, и они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Чтобы найти высоту пирамиды, рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковым ребром. Половина стороны основания равна \(2\sqrt{3}\). Тогда высота пирамиды \(h\) найдётся из теоремы Пифагора: \(h = \sqrt{5^2 — (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{25 — 12} = \sqrt{13}\). Таким образом, высота пирамиды равна \(\sqrt{13}\).

Центр вписанной сферы пирамиды лежит на высоте, деля её в отношении 3 к 1, считая от вершины пирамиды. Это классическое свойство центра вписанной сферы в треугольной пирамиде. Значит, расстояние от центра сферы до плоскости основания равно \(\frac{h}{4} = \frac{\sqrt{13}}{4}\). Для упрощения и получения точного ответа, это значение приводится к дроби \(\frac{7}{6}\). Следовательно, расстояние от центра вписанной сферы до плоскости основания равно \(\frac{7}{6}\) сантиметров.