ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, равен 25 см, а расстояние от его центра до плоскости основания пирамиды равно 7 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, можно найти по теореме Пифагора, используя радиус сферы \(R = 25\) см и расстояние от центра сферы до плоскости основания \(d = 7\) см. Получаем \(r_{base}^2 = R^2 — d^2 = 25^2 — 7^2 = 625 — 49 = 576\), откуда \(r_{base} = \sqrt{576} = 24\) см.

Высота пирамиды \(h\) может быть определена двумя способами в зависимости от расположения центра сферы относительно основания. Если центр сферы находится между вершиной и основанием, то \(h_1 = R + d = 25 + 7 = 32\) см. Если основание находится между вершиной и центром сферы, то \(h_2 = R — d = 25 — 7 = 18\) см.

Боковое ребро \(l\) пирамиды находится по теореме Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \(h\) и радиусом описанной окружности основания \(r_{base}\).
В первом случае, при \(h_1 = 32\) см, \(l_1^2 = h_1^2 + r_{base}^2 = 32^2 + 24^2 = 1024 + 576 = 1600\), следовательно \(l_1 = \sqrt{1600} = 40\) см.
Во втором случае, при \(h_2 = 18\) см, \(l_2^2 = h_2^2 + r_{base}^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900\), следовательно \(l_2 = \sqrt{900} = 30\) см.

Таким образом, боковое ребро пирамиды может быть 40 см или 30 см.

Радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, является ключевым параметром, который позволяет связать геометрию пирамиды с описанной вокруг неё сферой. В данной задаче нам известен радиус сферы \(R = 25\) см и расстояние от центра сферы до плоскости основания пирамиды \(d = 7\) см. Чтобы найти радиус основания пирамиды \(r_{base}\), нужно рассмотреть сечение сферы плоскостью основания. Поскольку основание пирамиды лежит на сфере, все его вершины находятся на окружности, радиус которой нам и нужно определить. Центр сферы и плоскость основания вместе с радиусом сферы образуют прямоугольный треугольник, где гипотенузой является радиус сферы \(R\), один катет — расстояние от центра сферы до плоскости основания \(d\), а второй катет — искомый радиус окружности основания \(r_{base}\). Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть \(R^2 = r_{base}^2 + d^2\). Подставляя числовые значения, получаем \(25^{2} = r_{base}^{2} + 7^{2}\), что эквивалентно \(625 = r_{base}^{2} + 49\). Вычтя 49 из обеих частей уравнения, находим \(r_{base}^{2} = 625 — 49 = 576\). Извлекая квадратный корень, получаем \(r_{base} = \sqrt{576} = 24\) см. Таким образом, радиус окружности основания пирамиды равен 24 см.

Высота пирамиды \(h\) в задаче может быть определена двумя способами в зависимости от расположения центра сферы относительно основания и вершины пирамиды. Первый вариант предполагает, что центр сферы находится между вершиной пирамиды и её основанием. В этом случае высота пирамиды \(h_1\) равна сумме радиуса сферы \(R\) и расстояния \(d\), так как вершина расположена на расстоянии \(R\) от центра сферы, а основание — на расстоянии \(d\). Формула для высоты в этом случае записывается как \(h_1 = R + d\). Подставляя значения, получаем \(h_1 = 25 + 7 = 32\) см. Второй вариант рассматривает ситуацию, при которой основание пирамиды расположено между вершиной и центром сферы. Тогда высота пирамиды \(h_2\) равна разности радиуса сферы и расстояния до основания: \(h_2 = R — d\). Подставляя данные, получаем \(h_2 = 25 — 7 = 18\) см. Оба варианта высоты являются геометрически возможными и будут использоваться для дальнейших вычислений длины бокового ребра.

Для определения длины бокового ребра пирамиды \(l\) рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором катетами являются высота пирамиды \(h\) и радиус описанной окружности основания \(r_{base}\), а гипотенузой — боковое ребро \(l\). Это обусловлено тем, что боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной её основания, а расстояние между проекцией вершины на основание и вершиной основания равно \(r_{base}\). Согласно теореме Пифагора, длина бокового ребра удовлетворяет уравнению \(l^{2} = h^{2} + r_{base}^{2}\). Рассмотрим первый случай с высотой \(h_1 = 32\) см и радиусом основания \(r_{base} = 24\) см. Подставляя значения, получаем \(l_1^{2} = 32^{2} + 24^{2} = 1024 + 576 = 1600\). Извлекая квадратный корень, получаем \(l_1 = \sqrt{1600} = 40\) см. Во втором случае с высотой \(h_2 = 18\) см и тем же радиусом основания \(r_{base} = 24\) см, подставляем в формулу: \(l_2^{2} = 18^{2} + 24^{2} = 324 + 576 = 900\). Извлекая корень, получаем \(l_2 = \sqrt{900} = 30\) см. Таким образом, боковое ребро пирамиды может иметь длину либо 40 см, либо 30 см, в зависимости от расположения центра сферы относительно основания и вершины пирамиды.