ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной \(a\). Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а третья грань образует с основанием угол \(\alpha\). Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Основание — правильный треугольник со стороной \(a\).

Две боковые грани перпендикулярны основанию, третья образует с основанием угол \(\alpha\).

Радиус описанной сферы \(R\) равен

\(R = \frac{a \sqrt{27 \tan^2 \alpha + 48}}{12}\).

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \(a\). Это значит, что все стороны равны, и углы между ними равны 60°. Высота такого треугольника равна \(h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). Центр описанной окружности основания совпадает с центром масс треугольника, и его радиус равен \(R_{\text{осн}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, то есть они образуют прямой угол с плоскостью основания. Третья грань образует с основанием угол \(\alpha\). Это наклон этой боковой грани относительно основания. Чтобы найти радиус описанной сферы, нужно учесть высоты и расположение вершин пирамиды в пространстве. Высоты боковых граней, перпендикулярных основанию, равны \(a/2\), а высота наклонной грани связана с углом \(\alpha\) через тангенс.

Радиус описанной сферы \(R\) можно выразить через сторону основания \(a\) и угол \(\alpha\) по формуле

\(R = \frac{a \sqrt{27 \tan^{2} \alpha + 48}}{12}\).

Эта формула учитывает геометрические свойства пирамиды, включая высоты боковых граней и наклон третьей грани, что позволяет точно вычислить радиус сферы, описанной вокруг всей фигуры.