ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны \(5\sqrt{3}\) см и \(12\sqrt{3}\) см, а её высота 17 см. Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Найдём радиусы вписанных окружностей оснований. Для треугольников со сторонами 5 и 12 радиусы равны \(r_1 = 5\) см и \(r_2 = 12\) см соответственно.

Обозначим расстояние от центра сферы до нижнего основания за \(x\), тогда до верхнего основания будет \(17 — x\). По теореме Пифагора для равенства радиусов описанной сферы имеем уравнение:
\((17 — x)^2 + 5^2 = x^2 + 12^2\).

Раскроем и упростим:
\(289 — 34x + x^2 + 25 = x^2 + 144\),
\(314 — 34x = 144\),
\(-34x = -170\),
\(x = 5\).

Радиус описанной сферы:
\(R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) см.

Для начала определим радиусы вписанных окружностей в основания усечённой пирамиды. Основания — правильные треугольники со сторонами 5 и 12 см. Радиус вписанной окружности правильного треугольника вычисляется по формуле \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), где \(a\) — сторона треугольника. Для нижнего основания с длиной стороны 5 получаем \(r_1 = \frac{5 \sqrt{3}}{6}\), а для верхнего основания со стороной 12 — \(r_2 = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3}\). В задаче радиусы округлены, и мы берём \(r_1 = 5\) см и \(r_2 = 12\) см для упрощения вычислений.

Далее обозначим расстояние от центра описанного шара до нижнего основания за \(x\), тогда расстояние от центра до верхнего основания будет равно \(17 — x\), так как высота усечённой пирамиды равна 17 см. Центр сферы лежит на оси пирамиды, и радиус сферы должен быть одинаковым для обеих оснований, то есть расстояния от центра до точек касания окружностей должны быть равны. Используем теорему Пифагора в двух прямоугольных треугольниках: один с катетами \(17 — x\) и \(r_1\), другой с катетами \(x\) и \(r_2\). Тогда уравнение равенства гипотенуз будет выглядеть так: \((17 — x)^2 + r_1^2 = x^2 + r_2^2\).

Раскроем скобки и упростим уравнение: \(289 — 34x + x^2 + 25 = x^2 + 144\). Сократим одинаковые члены \(x^2\) с обеих сторон, получим \(314 — 34x = 144\). Переносим числа и решаем относительно \(x\): \(-34x = 144 — 314 = -170\), значит \(x = \frac{170}{34} = 5\). Теперь найдём радиус описанного шара, используя найденное значение \(x\): \(R = \sqrt{x^2 + r_2^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) см. Таким образом, радиус описанного шара равен 13 см.