ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 2 см и 14 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найдите радиус шара, описанного около данной усечённой пирамиды.

Радиусы вписанных окружностей оснований вычисляем по формуле для правильного четырёхугольника:
\(r_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\),
\(r_2 = \frac{14 \sqrt{2}}{2} = 7 \sqrt{2}\).

Высота усечённой пирамиды равна \(12\) см.

Обозначим расстояние от центра нижнего основания до точки пересечения бокового ребра с плоскостью основания за \(x\). Составляем уравнение по теореме Пифагора:
\((12 — x)^2 + 2 = x^2 + 98\).

Раскрываем скобки и упрощаем:
\(144 — 24x + x^2 + 2 = x^2 + 98\),
\(24x = 48\),
\(x = 2\).

Рассчитываем радиус описанной сферы:
\(R = \sqrt{2 + 98} = \sqrt{100} = 10\) см.

Дано, что основания усечённой правильной четырёхугольной пирамиды — квадраты со сторонами 2 см и 14 см. Сначала найдём радиусы вписанных окружностей в эти квадраты, так как они понадобятся для вычисления расстояний в пирамиде. Радиус вписанной окружности правильного квадрата равен половине его стороны, умноженной на корень из двух, то есть \(r = \frac{a \sqrt{2}}{2}\). Для меньшего основания с длиной стороны 2 см радиус будет равен \(r_1 = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\) см. Для большего основания со стороной 14 см радиус \(r_2 = \frac{14 \sqrt{2}}{2} = 7 \sqrt{2}\) см.

Высота усечённой пирамиды дана и равна 12 см. Обозначим расстояние от центра нижнего основания до точки, где боковое ребро пересекает плоскость основания, за \(x\). По условию угол между боковым ребром и основанием равен 45°, что означает равенство катетов в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, отрезком в основании и боковым ребром. Используем теорему Пифагора для нахождения \(x\). Запишем уравнение: квадрат разности высоты и \(x\) плюс квадрат радиуса меньшего основания равен сумме квадрата \(x\) и квадрата радиуса большего основания, то есть \((12 — x)^2 + r_1^2 = x^2 + r_2^2\).

Подставим значения радиусов: \((12 — x)^2 + (\sqrt{2})^2 = x^2 + (7 \sqrt{2})^2\), что упрощается до \((12 — x)^2 + 2 = x^2 + 98\). Раскроем скобки и приведём подобные: \(144 — 24x + x^2 + 2 = x^2 + 98\). Упростим уравнение, сократив \(x^2\) с обеих сторон: \(146 — 24x = 98\). Переносим 98 вправо: \(146 — 98 = 24x\), то есть \(48 = 24x\). Отсюда \(x = 2\) см.

Теперь, зная \(x\), можем найти радиус описанной сферы. Он равен расстоянию от точки пересечения бокового ребра с основанием до центра верхнего основания, рассчитываемому по формуле \(R = \sqrt{r_1^2 + (r_2)^2}\), где \(r_1^2 = 2\) и \(r_2^2 = 98\). Следовательно, \(R = \sqrt{2 + 98} = \sqrt{100} = 10\) см. Таким образом, радиус описанного шара равен 10 см.