ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, описанного около усечённой пирамиды \(ABCA_1B_1C_1\), если \(\angle ABC = 90^\circ\), \(AB = 8\) см, \(BC = 16\sqrt{2}\) см, \(B_1C_1 = 12\sqrt{2}\) см, а высота пирамиды равна 3 см.

Для начала найдём длину диагонали основания \(DC\) по теореме Пифагора: \(DC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + (16\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 512} = 24\) см.

Далее найдём длину \(DB_1\), используя отношение отрезков и данные: \(DB_1 = \frac{3 \cdot 8}{4} = 6\) см.

Рассчитаем длину \(DC_1\): \(DC_1 = \sqrt{3^2 + (12\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 288} = 18\) см.

Пусть \(x\) — расстояние от центра основания до точки касания сферы. Тогда уравнение: \((3 — x)^2 + 144 = x^2 + 81\).

Раскроем скобки и упростим: \(9 — 6x + x^2 + 144 = x^2 + 81\), откуда \(6x = 72\), значит \(x = 12\).

Радиус описанной сферы: \(R = \sqrt{144 + 81} = 15\) см.

В заданной усечённой пирамиде \(ABCA_1B_1C_1\) нам нужно найти радиус описанной сферы. Для этого сначала рассмотрим основание пирамиды — треугольник \(ABC\) с прямым углом при вершине \(B\). Из условия известно, что \(AB = 8\) см и \(BC = 16\sqrt{2}\) см. Чтобы найти длину диагонали \(AC\), применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(ABC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Подставляя известные значения, получаем \(AC^2 = 8^2 + (16\sqrt{2})^2 = 64 + 512 = 576\), откуда \(AC = \sqrt{576} = 24\) см. Это значение важно, так как оно помогает определить расстояния между точками основания.

Далее рассмотрим верхнее основание усечённой пирамиды — треугольник \(A_1B_1C_1\). Из условия известно, что длина ребра \(B_1C_1 = 12\sqrt{2}\) см, а высота пирамиды равна 3 см. Для нахождения расстояния от точки \(D\) до вершины \(B_1\) используем подобие треугольников и пропорции. Из геометрии пирамиды известно, что отношение длин соответствующих отрезков пропорционально высоте. Таким образом, длина отрезка \(DB_1\) равна \( \frac{3 \cdot 8}{4} = 6 \) см, где 4 — масштабный коэффициент, связанный с длинами ребер основания и верхнего основания.

Затем вычислим длину отрезка \(DC_1\), используя теорему Пифагора в трёхмерном пространстве. Поскольку высота пирамиды равна 3 см, а длина ребра \(B_1C_1 = 12\sqrt{2}\) см, то \(DC_1 = \sqrt{3^2 + (12\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 288} = \sqrt{297} = 18\) см. Чтобы найти радиус описанной сферы, введём переменную \(x\) — расстояние от центра основания до точки касания сферы. Запишем уравнение равенства расстояний от центра до точек основания и верхнего основания: \((3 — x)^2 + 144 = x^2 + 81\). Раскроем скобки и упростим: \(9 — 6x + x^2 + 144 = x^2 + 81\), откуда следует \(6x = 72\), значит \(x = 12\). Наконец, рассчитаем радиус сферы по формуле \(R = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\) см.