ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольной пирамиде \(SABC\) боковые грани \(ASB\) и \(CSB\) равны и перпендикулярны плоскости основания, а грань \(ASC\) образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен \(r\), а угол \(ABC\) равен \(\alpha\). Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Рассмотрим треугольник основания \(ABC\) с описанной окружностью радиуса \(r\).

Радиус сферы, описанной около пирамиды \(SABC\), зависит от углов \(\alpha = \angle ABC\) и \(\beta\) — угла между гранью \(ASC\) и плоскостью основания.

Используем формулу
\(R = r \sqrt{1 + \cos^4 \frac{\alpha}{2} \cdot \tan^2 \beta}\),
которая учитывает расстояние от центра описанной окружности основания до вершины \(S\) через углы и радиус основания.

Таким образом, вычисление сводится к подстановке известных значений \(r\), \(\alpha\), \(\beta\) в формулу для \(R\).

Рассмотрим пирамиду \(SABC\), у которой основание — треугольник \(ABC\), описанный около окружности с радиусом \(r\). Для нахождения радиуса сферы, описанной около всей пирамиды, необходимо учитывать не только радиус основания, но и положение вершины \(S\) относительно плоскости основания.

Угол \(\alpha = \angle ABC\) характеризует форму треугольника основания, а угол \(\beta\) — это угол между плоскостью основания и гранью \(ASC\). Этот угол определяет, насколько вершина \(S\) удалена от плоскости основания в вертикальном направлении. Чем больше угол \(\beta\), тем дальше вершина \(S\) от основания, и тем больше радиус описанной сферы.

Формула для радиуса сферы записывается как \(R = r \sqrt{1 + \cos^4 \frac{\alpha}{2} \cdot \tan^2 \beta}\). Здесь \(\cos^4 \frac{\alpha}{2}\) — это четвертая степень косинуса половинного угла \(\alpha\), который влияет на распределение точек основания относительно центра описанной окружности. \(\tan^2 \beta\) учитывает вертикальное смещение вершины \(S\). В итоге подкоренное выражение показывает сумму квадрата радиуса основания и дополнительного слагаемого, связанного с высотой пирамиды и углом \(\alpha\).

Таким образом, чтобы найти радиус описанной сферы, нужно вычислить радиус описанной окружности основания \(r\), определить угол \(\alpha\) треугольника \(ABC\) и угол \(\beta\) между гранью \(ASC\) и основанием, затем подставить эти значения в формулу. Это позволяет учесть как горизонтальное расположение основания, так и вертикальное положение вершины \(S\), что даёт точное значение радиуса описанной сферы.