Учебник «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского — это современное и тщательно продуманное пособие, предназначенное для школьников, изучающих геометрию на профильном уровне. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 11 класса, обеспечивая глубокое и системное понимание предмета.
ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Боковое ребро правильной треугольной призмы равно 2 см, а сторона основания 12 см. Найдите радиус шара, в который вписана данная призма.
Дано: боковое ребро призмы \(l=2\) см, сторона основания правильного треугольника \(a=12\) см. Ищем радиус сферы \(R\), описанной около призмы (центр — середина высоты призмы и центр описанной окружности основания).
Сначала радиус описанной окружности правильного треугольника: \(r=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\) см.
Радиус сферы равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{l}{2}\) и \(r\): \(R=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2+r^2}=\sqrt{1+48}=7\) см.
1. Рассмотрим правильную треугольную призму, у которой все боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны между собой. Центр вписанного шара совпадает с серединой отрезка, соединяющего центры описанных окружностей оснований, а радиус шара равен расстоянию от центра основания до любой вершины основания и до середины высоты призмы по диагонали. Поэтому искомый радиус сферы \(R\) вычисляется как гипотенуза прямоугольного треугольника, где один катет равен половине бокового ребра \(\frac{l}{2}\), а второй катет равен радиусу описанной окружности правильного треугольника основания \(r\).
2. Для правильного треугольника со стороной \(a\) радиус описанной окружности равен \(r=\frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляя \(a=12\), получаем \(r=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\) см. Теперь используем соотношение для радиуса сферы: \(R=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^{2}+r^{2}}\). При \(l=2\) имеем \(\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=\left(\frac{2}{2}\right)^{2}=1\), а \(r^{2}=(4\sqrt{3})^{2}=16\cdot 3=48\).
3. Следовательно, \(R=\sqrt{1+48}=\sqrt{49}=7\) см. Это означает, что расстояние от центра сферы до любой вершины призмы составляет 7 см, что согласуется с геометрической моделью: половина высоты призмы дает малый катет, а радиус описанной окружности основания дает большой катет. Итог: радиус шара, в который вписана данная правильная треугольная призма, равен \(7\) см.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!