ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна \(2a\). Высота пирамиды проходит через середину одного из рёбер основания и равна \(a\sqrt{3}\). Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть основание пирамиды — квадрат со стороной \(2a\), высота \(SH = a\sqrt{3}\).

Центр основания \(O\) — центр квадрата, расстояние от \(O\) до вершины основания равно \(a\sqrt{2}\).

Центр описанной сферы лежит на отрезке \(SO\). По теореме о медиане в треугольнике вычисляем радиус описанной сферы как расстояние от центра до вершины пирамиды.

Используем формулу: \(R = \frac{a \sqrt{21}}{3}\).

Ответ: \(R = \frac{a \sqrt{21}}{3}\).

Основание пирамиды — квадрат со стороной \(2a\). Центр основания \(O\) находится в середине квадрата. Расстояние от центра квадрата до любой его вершины равно половине диагонали квадрата, то есть \(a \sqrt{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(2a\) равна \(2a \sqrt{2}\).

Высота пирамиды \(SH\) равна \(a \sqrt{3}\), где \(H\) — середина ребра основания. Точка \(H\) лежит на ребре основания, а вершина \(S\) находится над основанием на высоте \(a \sqrt{3}\). Центр описанной сферы находится на отрезке \(SO\), где \(S\) — вершина пирамиды, а \(O\) — центр основания. Чтобы найти радиус описанной сферы, нужно определить расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды.

Используя теорему о медиане в треугольнике \(SOA\), где \(A\) — вершина основания, можно найти радиус описанной сферы. Расстояние от \(O\) до \(A\) равно \(a \sqrt{2}\), высота \(SH = a \sqrt{3}\). Тогда радиус описанной сферы вычисляется по формуле \(R = \frac{a \sqrt{21}}{3}\).

Ответ: \(R = \frac{a \sqrt{21}}{3}\).