ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В сферу радиуса \(R\) вписана правильная треугольная призма со стороной основания \(a\). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Правильный треугольник со стороной \(a\) вписан в окружность радиуса \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Призма вписана в сферу радиуса \(R\), значит высота призмы равна \(2h\), где \(h = \sqrt{R^2 — r^2} = \sqrt{R^2 — \frac{a^2}{3}}\).

Плоскость сечения проходит через центр сферы и сторону основания, следовательно, сечение — это трапеция с основаниями длиной \(a\) и проекцией этой стороны на верхнее основание.

Длина верхнего основания сечения равна \(a \frac{h}{R} = a \frac{\sqrt{R^2 — \frac{a^2}{3}}}{R}\).

Площадь сечения равна площади трапеции с высотой \(h\) и основаниями \(a\) и \(a \frac{h}{R}\):

\(S = \frac{h}{2} \left(a + a \frac{h}{R}\right) = \frac{a h}{2} \left(1 + \frac{h}{R}\right)\).

Подставляя \(h = \sqrt{R^2 — \frac{a^2}{3}}\) и упрощая, получаем

\(S = \frac{2 a \sqrt{4 R^2 — a^2}}{3}\).

Правильный треугольник с длиной стороны \(a\) имеет радиус описанной окружности \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Поскольку призма вписана в сферу радиуса \(R\), вершины основания треугольника лежат на сфере, а высота призмы соответствует расстоянию от основания до верхнего основания, расположенного симметрично относительно центра сферы. Центр сферы совпадает с центром описанной окружности основания и находится посередине высоты призмы. Таким образом, половина высоты призмы равна \(h = \sqrt{R^{2} — r^{2}} = \sqrt{R^{2} — \frac{a^{2}}{3}}\).

Плоскость сечения проходит через центр сферы и одну из сторон основания, например, сторону длины \(a\). Эта плоскость пересекает призму по трапеции, у которой одно основание — сторона основания длиной \(a\), а второе основание — проекция этой стороны на верхнее основание призмы. Длина второго основания пропорциональна высоте \(h\) и радиусу \(R\), и равна \(a \frac{h}{R} = a \frac{\sqrt{R^{2} — \frac{a^{2}}{3}}}{R}\).

Площадь сечения равна площади трапеции с высотой \(h\) и основаниями \(a\) и \(a \frac{h}{R}\). Формула площади трапеции: \(S = \frac{h}{2} \left(a + a \frac{h}{R}\right) = \frac{a h}{2} \left(1 + \frac{h}{R}\right)\). Подставляя выражение для \(h\) и упрощая, получаем итоговый результат: \(S = \frac{2 a \sqrt{4 R^{2} — a^{2}}}{3}\).