ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В сферу вписана правильная треугольная призма со стороной основания \(a\) и боковым ребром \(b\). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания призмы.

Рассчитаем радиус вписанной сферы в правильный треугольник с длиной стороны \(a\):

\(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Рассчитаем радиус описанной сферы вокруг призмы с боковым ребром \(b\):

\(R = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \frac{\sqrt{3b^2 + 4a^2}}{2\sqrt{3}}\).

Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и сторону основания, равна:

\(S_{сеч} = \frac{2a}{3} \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}}\).

Рассмотрим правильную треугольную призму с основанием стороны длины \(a\) и высотой (боковым ребром) \(b\). В первую очередь найдем радиус вписанной сферы, которая касается всех граней призмы изнутри. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{a}{\sqrt{3}}\), так как вписанная окружность касается всех сторон равностороннего треугольника. Этот радиус служит основой для определения параметров сферы, в которую вписана призма.

Далее определим радиус описанной сферы, которая проходит через все вершины призмы. Для этого вычислим расстояние от центра основания до вершины бокового ребра. Центр основания — это центр правильного треугольника, а высота призмы равна \(b\). Расстояние от центра основания до одной из вершин основания равно половине стороны, умноженной на \(\sqrt{3}/3\), что дает \( \frac{a \sqrt{3}}{3} \). Тогда радиус описанной сферы вычисляется по формуле \(R = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{b^2}{4} + \frac{a^2}{3}} = \frac{\sqrt{3b^2 + 4a^2}}{2\sqrt{3}}\).

Наконец, чтобы найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и одну из сторон основания, нужно рассмотреть треугольник, образованный этой плоскостью. Площадь сечения равна произведению длины основания \(2a\) на высоту, которая получается из выражения \( \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}} \), делённому на 3. Таким образом, площадь сечения вычисляется по формуле \(S_{сеч} = \frac{2a}{3} \sqrt{b^2 + \frac{a^2}{3}}\). Этот результат показывает, как связаны параметры призмы и геометрия сечения, проходящего через центр сферы и сторону основания.