Учебник «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского — это современное и тщательно продуманное пособие, предназначенное для школьников, изучающих геометрию на профильном уровне. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 11 класса, обеспечивая глубокое и системное понимание предмета.
ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Дан тетраэдр \(DABC\). В грани \(ADB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\), в грани \(BDC\) — высоты \(BB_2\) и \(CC_1\) и в грани \(CDA\) — высоты \(CC_2\) и \(AA_2\). Докажите, что прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости.
Дано: \(AA_1\), \(BB_1\) — высоты в грани \(ADB\), \(BB_2\), \(CC_1\) — высоты в грани \(BDC\), \(CC_2\), \(AA_2\) — высоты в грани \(CDA\).
Так как \(AA_1\) и \(BB_1\) — высоты в треугольнике \(ADB\), то \(AA_1 \perp DB\) и \(BB_1 \perp AD\).
Аналогично, \(BB_2 \perp DC\), \(CC_1 \perp BD\), \(CC_2 \perp DA\), \(AA_2 \perp DC\).
Рассмотрим прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\), \(A_2C_2\).
Эти прямые лежат в плоскостях, параллельных касательной плоскости к сфере, описанной около тетраэдра \(DABC\), в точке \(D\).
Следовательно, прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\), \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости, касающейся сферы в точке \(D\).
1. Рассмотрим высоты, проведённые в гранях тетраэдра \(DABC\). В грани \(ADB\) высоты \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны сторонам \(DB\) и \(AD\) соответственно, то есть \(AA_1 \perp DB\) и \(BB_1 \perp AD\). Аналогично в грани \(BDC\) высоты \(BB_2\) и \(CC_1\) перпендикулярны сторонам \(DC\) и \(BD\), то есть \(BB_2 \perp DC\), \(CC_1 \perp BD\). В грани \(CDA\) высоты \(CC_2\) и \(AA_2\) перпендикулярны сторонам \(DA\) и \(DC\), то есть \(CC_2 \perp DA\), \(AA_2 \perp DC\).
2. Теперь рассмотрим прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\). Каждая из них соединяет основания высот, проведённых в соседних гранях, и лежит в плоскости, параллельной касательной плоскости к сфере, описанной около тетраэдра \(DABC\) в точке \(D\). Это следует из того, что высоты перпендикулярны сторонам, исходящим из точки \(D\), а основания высот лежат на этих сторонах. Значит, эти прямые параллельны плоскости, касающейся сферы в точке \(D\).
3. Таким образом, прямые \(A_1B_1\), \(C_1B_2\) и \(A_2C_2\) параллельны одной плоскости, которая касается сферы, описанной около тетраэдра \(DABC\), в точке \(D\). Это доказывает, что они лежат в параллельных плоскостях, а значит, они параллельны одной общей плоскости, касающейся данной сферы.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!