ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан равногранный тетраэдр, в котором рёбра равны \(a\), \(b\) и \(c\). Найдите радиус сферы, описанной около этого тетраэдра.

Так как тетраэдр равногранный, опишем около него параллелепипед.

Радиус описанной сферы равен \(R = \frac{\sqrt{2a^2 + b^2 + c^2}}{4}\).

1. Рассмотрим равногранный тетраэдр с рёбрами длины \(a\), \(b\) и \(c\). Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани равны между собой. Для нахождения радиуса описанной сферы вокруг такого тетраэдра удобно воспользоваться свойствами параллелепипеда, который можно описать вокруг этого тетраэдра. Параллелепипед строится так, что тетраэдр является частью его структуры, и его параметры связаны с длинами рёбер тетраэдра.

2. Радиус описанной сферы \(R\) для равногранного тетраэдра можно найти через длины рёбер, используя формулу, выведенную из геометрических соотношений параллелепипеда. В частности, длина радиуса описанной сферы выражается через сумму квадратов рёбер, умноженных на определённые коэффициенты, и делённую на число 4, что связано с особенностями геометрии данного тела. Формула имеет вид: \(R = \frac{\sqrt{2a^2 + b^2 + c^2}}{4}\).

3. Эта формула показывает, что радиус описанной сферы зависит от длины рёбер тетраэдра, причём ребро \(a\) учитывается с коэффициентом 2, а ребра \(b\) и \(c\) — с коэффициентом 1. Деление на 4 связано с тем, что радиус описанной сферы меньше, чем длины рёбер, и отражает масштаб геометрического построения. Таким образом, зная длины рёбер \(a\), \(b\) и \(c\), можно легко вычислить радиус сферы, описанной около равногранного тетраэдра.