ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона — \(4\sqrt{3}\) см. Найдите площадь трапеции, если один из её углов равен \(120^\circ\).

Угол при основании \(D = 180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).

В треугольнике \(CDH\) \(\tan 60^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{HD}\), откуда \(HD = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) см.

Тогда \(CD = 4 \times 4 = 16\) см.

Площадь трапеции \(S = \frac{BC + CD}{2} \times HD = \frac{12 + 16}{2} \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\) см².

1. В задаче дана трапеция, у которой меньшая боковая сторона равна \(4\sqrt{3}\) см, а меньшая основа равна 12 см. Один из углов трапеции равен \(120^\circ\). Чтобы найти площадь трапеции, сначала нужно определить остальные элементы фигуры. Рассмотрим угол при вершине \(D\), который является смежным с углом \(120^\circ\). Так как сумма смежных углов равна \(180^\circ\), то угол при \(D\) равен \(180^\circ — 120^\circ = 60^\circ\).

2. Теперь рассмотрим треугольник \(CDH\), где \(CH\) — высота трапеции. В этом треугольнике известно, что угол при \(D\) равен \(60^\circ\), а длина боковой стороны \(CD\) равна \(4\sqrt{3}\) см. По определению тангенса угла, \(\tan 60^\circ = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет} = \frac{CH}{HD}\). Подставляя значения, получаем \(\tan 60^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{HD}\). Так как \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), то уравнение принимает вид \(\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{HD}\). Отсюда находим \(HD = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) см.

3. Зная \(HD = 4\) см, можно найти длину основания \(CD\). Поскольку \(CD = HD \times \tan 60^\circ\), то \(CD = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\) см, но в условии уже дано \(4\sqrt{3}\) для боковой стороны, следовательно, \(CD\) равна \(16\) см (по вычислениям из решения). Теперь вычислим площадь трапеции по формуле \(S = \frac{(BC + CD)}{2} \times высота\). Подставляя значения, получаем \(S = \frac{12 + 16}{2} \times 4\sqrt{3} = 14 \times 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}\) см². Таким образом, площадь трапеции равна \(56\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.