ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, — 24 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть основание \(AC = x\), боковая сторона \(BC = y\).

Из площади: \( \frac{1}{2} x \cdot 20 = \frac{1}{2} y \cdot 24 \Rightarrow 20x = 24y \Rightarrow x = \frac{6}{5} y \).

По теореме Пифагора: \( y^2 = 20^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 400 + \left(\frac{6y}{10}\right)^2 = 400 + \frac{36y^2}{100} \).

Умножаем на 100: \( 100 y^2 = 40000 + 36 y^2 \Rightarrow 64 y^2 = 40000 \Rightarrow y^2 = 625 \Rightarrow y = 25 \).

Тогда \( x = \frac{6}{5} \cdot 25 = 30 \).

Площадь: \( S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300 \).

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием \(AC = x\) и боковой стороной \(BC = y\). Известно, что высота \(BH\), проведённая к основанию \(AC\), равна 20, а высота \(DK\), проведённая к боковой стороне \(BC\), равна 24. Площадь треугольника можно выразить двумя способами через эти высоты: \(S = \frac{1}{2} x \cdot BH\) и \(S = \frac{1}{2} y \cdot DK\).

Приравниваем площади, так как это одна и та же фигура: \(\frac{1}{2} x \cdot 20 = \frac{1}{2} y \cdot 24\). Упростим уравнение: \(20x = 24y\), откуда получаем \(x = \frac{24}{20} y = \frac{6}{5} y\). Таким образом, основание выражено через боковую сторону.

Так как треугольник равнобедренный, высота \(BH\), проведённая к основанию, делит основание пополам, то есть \(AH = HC = \frac{x}{2}\). Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику \(BHA\): \(y^2 = BH^2 + AH^2\), то есть \(y^2 = 20^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2\). Подставим выражение для \(x\): \(y^2 = 400 + \left(\frac{6y}{10}\right)^2 = 400 + \frac{36 y^2}{100}\).

Умножим уравнение на 100 для удобства: \(100 y^2 = 40000 + 36 y^2\). Переносим слагаемые: \(100 y^2 — 36 y^2 = 40000\), что даёт \(64 y^2 = 40000\). Делим обе части на 64: \(y^2 = \frac{40000}{64} = 625\), значит \(y = 25\).

Теперь найдём основание: \(x = \frac{6}{5} \cdot 25 = 30\). Наконец, вычислим площадь треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300\).