ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шар радиуса \(R\) вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна \(a\). Найдите площадь боковой поверхности данной призмы.

Дано: шар радиуса \(R\), в него вписана правильная четырёхугольная призма со стороной основания \(a\). Высота призмы \(h\) равна диаметру шара усечённого диагональю квадрата основания: по теореме Пифагора для половины диагонали получаем \(R^2=\left(\frac{h}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2\).

Отсюда \(\frac{h^2}{4}=R^2-\frac{a^2}{2}\), значит \(h=\sqrt{4R^2-2a^2}\).

Площадь боковой поверхности призмы равна периметру основания, умноженному на высоту: \(S_{\text{бок}}=4a\cdot h=4a\sqrt{4R^2-2a^2}\).

1) Рассмотрим сечение шара и призмы плоскостью, проходящей через ось призмы и диагональ квадрата основания. В этом сечении квадрат основания даёт отрезок диагонали, а призма превращается в прямоугольник высоты \(h\) и ширины, равной диагонали основания. Центр шара совпадает с серединой высоты призмы, а радиус шара \(R\) является гипотенузой прямоугольного треугольника, у которого один катет равен \(\frac{h}{2}\), а второй катет равен половине диагонали квадрата основания, то есть \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\). По теореме Пифагора получаем связь между величинами: \(R^{2}=\left(\frac{h}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\).

2) Преобразуем это равенство, чтобы выразить высоту призмы. Имеем \(\frac{h^{2}}{4}=R^{2}-\frac{a^{2}\cdot 2}{4}=R^{2}-\frac{a^{2}}{2}\). Умножив обе части на \(4\), получаем \(h^{2}=4R^{2}-2a^{2}\). Отсюда высота призмы определяется как положительный корень, поскольку геометрическая длина неотрицательна: \(h=\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}\). Это выражение показывает, что при фиксированном \(R\) допустимые значения \(a\) удовлетворяют условию \(4R^{2}-2a^{2}\ge 0\), то есть \(a\le R\sqrt{2}\), что согласуется с тем, что диагональ квадрата основания не должна превышать диаметр шара.

3) Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы равна произведению периметра её квадратного основания на высоту. Периметр квадрата со стороной \(a\) равен \(4a\), следовательно, \(S_{\text{бок}}=4a\cdot h\). Подставляя найденную высоту, получаем окончательную формулу для искомой площади: \(S_{\text{бок}}=4a\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}\). Эта формула непосредственно выражает зависимость боковой площади от радиуса описанного шара и стороны основания призмы и совпадает с результатом на фото.