ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 8 см, а диагональ боковой грани 13 см. Найдите радиус шара, описанного около данной призмы.

Дана правильная шестиугольная призма: боковое ребро \(l=8\) см, диагональ боковой грани \(d_1=13\) см. Диагональ боковой грани образует прямоугольный треугольник с боковым ребром и апофемой основания \(a_b\): \(a_b^2=d_1^2-l^2\).

Подставим: \(a_b=\sqrt{13^2-8^2}=\sqrt{169-64}=\sqrt{105}\) см.

Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра призмы до любой вершины. Для правильной шестиугольной призмы он вычисляется как \(R=\sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2+a_b^2}\).

Тогда \(R=\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2+105}=\sqrt{16+105}=11\) см.

Дано: правильная шестиугольная призма, боковое ребро \(l=8\) см, диагональ боковой грани \(d_1=13\) см. Рассмотрим боковую грань призмы: это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте призмы \(l\), а другая сторона равна апофеме правильного шестиугольника \(a_b\) (расстояние от центра основания до середины стороны основания). Диагональ прямоугольника соединяет вершины боковой грани и образует прямоугольный треугольник с катетами \(l\) и \(a_b\). По теореме Пифагора для этого треугольника: \(d_1^2=l^2+a_b^2\), откуда получаем выражение для апофемы основания: \(a_b^2=d_1^2-l^2\).

Подставим численные значения и вычислим апофему. Имеем: \(a_b=\sqrt{d_1^2-l^2}=\sqrt{13^2-8^2}=\sqrt{169-64}=\sqrt{105}\) см. Эта величина является горизонтальной составляющей расстояния от центра основания до середины стороны и фактически совпадает с радиусом вписанной окружности правильного шестиугольника. Центр описанной сферы вокруг призмы расположен на середине высоты призмы и в центре правильного шестиугольника основания, поэтому расстояние от центра сферы до любой вершины призмы состоит из двух взаимно перпендикулярных компонент: горизонтальной \(a_b\) (в плоскости основания) и вертикальной \(\frac{l}{2}\) (половина высоты, так как центр находится посередине между основаниями).

Следовательно, радиус описанной сферы равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(a_b\) и \(\frac{l}{2}\): \(R=\sqrt{a_b^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}\). Подставляя найденные значения, получаем: \(R=\sqrt{105+\left(\frac{8}{2}\right)^2}=\sqrt{105+4^2}=\sqrt{105+16}=\sqrt{121}=11\) см. Итог: радиус описанного шара равен \(11\) см.