ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Радиус шара, описанного около данной призмы, равен 13 см. Найдите боковое ребро призмы.

Дано: основание — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см; радиус описанного вокруг призмы шара \(R=13\) см. Найти боковое ребро \(l\).

Сначала найдём гипотенузу основания: \(c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=10\) см, значит радиус описанной окружности основания \(r=\frac{c}{2}=5\) см.

Для призмы описанный шар имеет радиус \(R\), связанный с высотой \(h\) (боковым ребром) и \(r\) так: \(R^{2}=r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\). Подставим значения: \(13^{2}=5^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\Rightarrow 169=25+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\Rightarrow \left(\frac{h}{2}\right)^{2}=144\Rightarrow \frac{h}{2}=12\Rightarrow h=24\) см.

Ответ: \(l=24\) см.

Дано: основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см; радиус шара, описанного около всей призмы, равен \(R=13\) см. Требуется найти длину бокового ребра призмы \(l\) (она же высота призмы \(h\)). Начнём с геометрии основания. В прямоугольном треугольнике гипотенуза вычисляется по теореме Пифагора: \(c=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=10\) см. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть \(r=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5\) см. Этот радиус \(r\) есть горизонтальная составляющая радиуса описанного вокруг призмы шара, поскольку шар касается боковых граней по окружности, лежащей в середине высоты.

Рассмотрим пространственную конфигурацию. Центр шара, описанного около прямой призмы, расположен на оси призмы посередине высоты, то есть на расстоянии \(\frac{h}{2}\) от каждого основания. Проекция радиуса шара на плоскость основания равна \(r\), а вертикальная составляющая равна \(\frac{h}{2}\). Следовательно, полный радиус шара \(R\) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(r\) и \(\frac{h}{2}\). Отсюда по теореме Пифагора получаем связь \(R^{2}=r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\). Подставим известные значения: \(13^{2}=5^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\), то есть \(169=25+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}\). Перенесём и вычислим: \(\left(\frac{h}{2}\right)^{2}=169-25=144\). Отсюда \(\frac{h}{2}=\sqrt{144}=12\) см.

Теперь восстановим высоту призмы и, следовательно, её боковое ребро. Так как \(\frac{h}{2}=12\) см, умножаем на 2: \(h=2\cdot12=24\) см. В прямой призме боковое ребро равно высоте, поэтому \(l=h=24\) см. Итак, искомое боковое ребро призмы равно \(l=24\) см, что согласуется с вычисленной геометрической зависимостью между радиусом описанного шара, радиусом окружности основания и половиной высоты призмы.