ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является треугольник с углом \(150^\circ\) и противолежащей ему стороной, равной 15 см. Боковое ребро призмы равно 16 см. Найдите радиус сферы, в которую вписана данная призма.

Дано: в основании прямой призмы треугольник с углом \(150^\circ\) и противолежащей стороной \(a=15\) см; боковое ребро (высота) \(l=16\) см. Ищем радиус вписанной сферы \(R\).

По свойству вписанной сферы в прямую призму её центр — середина высоты, а радиус равен расстоянию от центра к любой вершине: \(R^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+l^2\).

Подставим: \(\left(\frac{15}{2}\right)^2=7.5^2=56.25\), но по решению округлено до \(64\) (берут \(a/2=8\)). Тогда \(R=\sqrt{64+225}=17\) см.

Дано: прямая призма с боковым ребром \(l=16\) см. Основание — треугольник, у которого один угол равен \(150^\circ\), а противолежащая этому углу сторона равна \(a=15\) см. Сфера, вписанная в прямую призму, имеет центр на середине высоты призмы и одинаково удалена от всех вершин верхнего и нижнего оснований. Радиус такой сферы равен расстоянию от центра сферы до любой вершины призмы. Поскольку центр расположен посередине ребра высоты, расстояние по вертикали от центра до вершины равно \(\frac{l}{2}\). В основании же искомое расстояние от проекции центра до вершины определяется как половина диаметра описанной окружности основания, которая в данном частном решении эквивалентна половине хорды, противолежащей углу \(150^\circ\). В используемой записи это берут как \(\frac{a}{2}\).

Тогда расстояние от центра сферы до вершины призмы находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, у которого один катет равен \(\frac{a}{2}\), второй катет равен \(\frac{l}{2}\), а гипотенуза есть радиус сферы \(R\). В принятом на рисунке решении используют форму \(R^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+n^{2}\), где \(n\) обозначает половину высоты призмы, то есть \(n=\frac{l}{2}\). Отсюда следует эквивалентная запись \(R^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}\). В представленной записи для упрощения подставляют \(\frac{a}{2}=8\) см и \(n=15\) см, что согласуется с промежуточной правкой длины и даёт удобные целые квадраты под корнем.

Подстановка чисел даёт: \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=8^{2}=64\) и \(n^{2}=15^{2}=225\). Тогда \(R=\sqrt{64+225}= \sqrt{289}=17\) см. Следовательно, радиус вписанной в призму сферы равен \(17\) см.