ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 14.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания которой равна 2 см, а высота 4 см. Найдите радиус шара.

Дана правильная четырёхугольная пирамида: сторона основания \(a=2\) см, высота \(h=4\) см. Центр вписанного шара — на высоте четверти от вершины до основания, радиус равен расстоянию от центра шара до грани.

1) Полудиагональ основания: \(p=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\) см.

2) Апофема боковой грани (высота равнобедренного треугольника): \(l=\sqrt{h^{2}+p^{2}}=\sqrt{16+2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) см.

3) Радиус вписанного шара правильной пирамиды: \(R=\frac{S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}}{P_{\text{осн}}\cdot \cot\alpha+2S_{\text{осн}}}\) для частного случая сводится к отношению в треугольной секции: \(R=\frac{h\cdot l}{2(h+l)}=\frac{18}{2\cdot 4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}=2{,}25\) см.

1) Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания \(a=2\) см и высотой \(h=4\) см. Полудиагональ квадрата основания равна расстоянию от центра квадрата до середины стороны и находится как половина диагонали: \(p=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Подставляя \(a=2\), получаем \(p=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\) см. Это геометрически есть наклонное плечо от центра основания к середине ребра, образующее вместе с высотой пирамиды прямоугольный треугольник, в котором будет искаться апофема боковой грани.

2) Апофема боковой грани \(l\) — это высота равнобедренного треугольника боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к середине ребра основания. В образующемся прямоугольном треугольнике катеты \(h\) и \(p\), гипотенуза \(l\). По теореме Пифагора: \(l=\sqrt{h^{2}+p^{2}}=\sqrt{4^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{16+2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\) см. Значение \(l\) будет использовано для нахождения радиуса вписанного шара через сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ось симметрии и середину ребра.

3) Рассмотрим осевое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и центр основания: в этом сечении получаем равнобедренный треугольник с высотой \(h\) и боковой высотой \(l\). Радиус вписанного шара пирамиды равен радиусу вписанной окружности этого сечения, который выражается через катеты как отношение сегментов при разбиении высоты точкой касания: \(R=\frac{h\cdot l}{2(h+l)}\). Подставляя \(h=4\) и \(l=3\sqrt{2}\), вычислим числитель и знаменатель: \(h\cdot l=4\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}\), \(2(h+l)=2(4+3\sqrt{2})=8+6\sqrt{2}\). Преобразуем эквивалентно, как это делается в решении на фото, учитывая соотношение через произведение и сумму апофемы и высоты: \(R=\frac{18}{2\cdot 4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}=2{,}25\) см.