ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную треугольную призму вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Радиус вписанного шара \(R\) связан с стороной основания правильного треугольника: \(a = 2R\sqrt{3}\).

Высота призмы равна \(h = 2R\).

Площадь основания \(S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = 3R^2 \sqrt{3}\).

Площадь двух оснований \(2S_{осн} = 6R^2 \sqrt{3}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = периметр \times h = 3a \times h = 3 \times 2R\sqrt{3} \times 2R = 12 R^2 \sqrt{3}\).

Полная площадь поверхности \(S = 2S_{осн} + S_{бок} = 6R^2 \sqrt{3} + 12 R^2 \sqrt{3} = 18 R^2 \sqrt{3}\).

1. Радиус вписанного шара \(R\) связан с параметрами правильной треугольной призмы. Основание призмы — правильный треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{6}\), где \(a\) — сторона треугольника. Поскольку радиус вписанного шара равен \(R\), и шар касается основания, то \(R = r\). Отсюда выражаем сторону основания: \(a = 2R \sqrt{3}\).

2. Высота призмы равна диаметру вписанного шара, так как шар касается верхнего и нижнего основания. Следовательно, высота \(h = 2R\). Таким образом, все размеры призмы выражены через радиус \(R\).

3. Площадь одного основания — правильного треугольника — вычисляется по формуле \(S_{осн} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}\). Подставляя \(a = 2R \sqrt{3}\), получаем \(S_{осн} = \frac{(2R \sqrt{3})^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{4 R^{2} \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = 3 R^{2} \sqrt{3}\).

4. Площадь двух оснований равна \(2 S_{осн} = 6 R^{2} \sqrt{3}\).

5. Боковая поверхность призмы состоит из трёх прямоугольников с размерами \(a\) на \(h\). Их суммарная площадь равна \(S_{бок} = периметр \times h = 3a \times h = 3 \times 2R \sqrt{3} \times 2R = 12 R^{2} \sqrt{3}\).

6. Полная площадь поверхности призмы — сумма площадей двух оснований и боковой поверхности: \(S = 2 S_{осн} + S_{бок} = 6 R^{2} \sqrt{3} + 12 R^{2} \sqrt{3} = 18 R^{2} \sqrt{3}\).