ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро — \(\sqrt{21}\) см. Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Сторона основания \(a = 6\), боковое ребро \(b = \sqrt{21}\).

Высота основания правильного треугольника \(h_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{2} a = 3 \sqrt{3}\).

Радиус описанной окружности основания \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\).

Высота пирамиды \(H\) найдется из \(b^2 = H^2 + R^2\), то есть \(21 = H^2 + 12\), откуда \(H = 3\).

Площадь основания \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 9 \sqrt{3}\).

Высота боковой грани \(h_b = \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 2 \sqrt{3}\).

Площадь одной боковой грани \(S_{\text{бок}_1} = \frac{1}{2} a h_b = 6 \sqrt{3}\), всего боковых граней 3, значит \(S_{\text{бок}} = 18 \sqrt{3}\).

Площадь полной поверхности \(S_{\text{полн}} = S + S_{\text{бок}} = 27 \sqrt{3}\).

Объем пирамиды \(V = \frac{1}{3} S H = 9 \sqrt{3}\).

Радиус вписанной сферы \(r = \frac{3 V}{S_{\text{полн}}} = \frac{3 \times 9 \sqrt{3}}{27 \sqrt{3}} = 1\).

Ответ: \(r = 1\) см.

Дана правильная треугольная пирамида с основанием, представляющим собой правильный треугольник со стороной \(a = 6\) см, и боковым ребром длиной \(b = \sqrt{21}\) см. Сначала нужно найти высоту основания. Высота правильного треугольника вычисляется по формуле \(h_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{2} a\), подставляя \(a = 6\), получаем \(h_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3 \sqrt{3}\) см. Центр основания — это центр вписанной окружности правильного треугольника, расстояние от центра до стороны основания равно радиусу вписанной окружности, который равен \(r_{\text{осн}} = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) см. Радиус описанной окружности основания, то есть расстояние от центра до вершины основания, равен \(R = \frac{a \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3}\) см.

Для определения высоты пирамиды \(H\) рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды \(V\), центром основания \(O\) и вершиной основания \(A\). Боковое ребро \(VA\) дано и равно \(b = \sqrt{21}\). В треугольнике \(VOA\) по теореме Пифагора \(VA^2 = VO^2 + OA^2\), где \(VO = H\), а \(OA = R = 2 \sqrt{3}\). Подставляя значения, получаем \( (\sqrt{21})^2 = H^2 + (2 \sqrt{3})^2\), то есть \(21 = H^2 + 12\), отсюда высота пирамиды \(H = \sqrt{9} = 3\) см. Таким образом, высота пирамиды равна 3 см.

Площадь основания правильного треугольника вычисляется по формуле \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\), подставляя \(a = 6\), получаем \(S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9 \sqrt{3}\) см². Далее найдем площадь боковой грани, которая является равнобедренным треугольником с основанием \(a = 6\) и боковыми сторонами \(b = \sqrt{21}\). Высота боковой грани, опущенная на основание, равна \(h_b = \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{21 — 9} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\) см. Площадь одной боковой грани равна \(S_{\text{бок}_1} = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3}\) см². Так как боковых граней три, общая площадь боковых граней равна \(S_{\text{бок}} = 3 \times 6 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}\) см².

Полная площадь поверхности пирамиды — сумма площади основания и площади боковых граней, то есть \(S_{\text{полн}} = S + S_{\text{бок}} = 9 \sqrt{3} + 18 \sqrt{3} = 27 \sqrt{3}\) см². Объем пирамиды вычисляется по формуле \(V = \frac{1}{3} S H\), подставляя значения, получаем \(V = \frac{1}{3} \times 9 \sqrt{3} \times 3 = 9 \sqrt{3}\) см³. Радиус вписанной сферы в пирамиду находится по формуле \(r = \frac{3 V}{S_{\text{полн}}}\), подставляя значения, получаем \(r = \frac{3 \times 9 \sqrt{3}}{27 \sqrt{3}} = 1\) см. Ответ: радиус вписанной сферы равен 1 см.