ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды является ромб со стороной \(a\) и углом \(\alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Радиус вписанной сферы равен радиусу вписанной окружности треугольника \( \triangle SEF \).

1. Найдём стороны треугольника \( SEF \):

\( SE = SF = \frac{a}{2 \cos \alpha} \), \( EF = a \), высота \( SO = \frac{a \tan \beta}{2} \).

2. Площадь треугольника \( S \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha} = \frac{a^2 \tan \beta}{4 \cos \alpha} \).

3. Полупериметр \( p \):

\( p = \frac{SE + SF + EF}{2} = \frac{\frac{a}{2 \cos \alpha} + \frac{a}{2 \cos \alpha} + a}{2} = \frac{a + a \cos \alpha}{2 \cos \alpha} \).

4. Радиус вписанной окружности \( r \):

\( r = \frac{2S}{P} = \frac{\frac{a^2 \tan \beta}{2 \cos \alpha}}{\frac{a(1 + \cos \alpha)}{\cos \alpha}} = \frac{a \tan \beta}{2} \cdot \frac{\cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \frac{\beta}{2} \).

1. Для нахождения радиуса вписанной сферы пирамиды рассмотрим треугольник \( \triangle SEF \), в который вписана окружность с радиусом \( R \). Радиус вписанной сферы равен радиусу этой окружности. Основание пирамиды — ромб со стороной \( a \) и углом \( \alpha \). Рёбра пирамиды образуют с основанием двугранные углы \( \beta \). Сначала найдём длины сторон треугольника \( SEF \). Отрезки \( SE \) и \( SF \) равны между собой, так как \( S \) — вершина пирамиды, а \( E \) и \( F \) — точки основания. По условию \( SE = SF = \frac{a}{2 \cos \alpha} \), так как они получены из разбиения ромба и учитывают угол \( \alpha \). Сторона \( EF = a \), так как это сторона ромба. Высота \( SO \), проведённая из вершины \( S \) на сторону \( EF \), равна \( \frac{a \tan \beta}{2} \), что учитывает двугранный угол \( \beta \).

2. Далее найдём площадь треугольника \( \triangle SEF \). Площадь вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2} \times EF \times SO \). Подставляя известные значения, получаем \( S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a \tan \beta}{2 \cos \alpha} = \frac{a^2 \tan \beta}{4 \cos \alpha} \). Таким образом, площадь выражена через сторону ромба \( a \), угол основания \( \alpha \) и двугранный угол \( \beta \).

3. Теперь найдём полупериметр треугольника \( p \). Периметр равен сумме всех сторон: \( P = SE + SF + EF = \frac{a}{2 \cos \alpha} + \frac{a}{2 \cos \alpha} + a = \frac{a}{\cos \alpha} + a \). Полупериметр \( p = \frac{P}{2} = \frac{a + a \cos \alpha}{2 \cos \alpha} \). Используя формулу радиуса вписанной окружности \( r = \frac{S}{p} \), подставляем значения площади и полупериметра: \( r = \frac{\frac{a^2 \tan \beta}{4 \cos \alpha}}{\frac{a + a \cos \alpha}{2 \cos \alpha}} = \frac{a^2 \tan \beta}{4 \cos \alpha} \times \frac{2 \cos \alpha}{a (1 + \cos \alpha)} = \frac{a \tan \beta}{2 (1 + \cos \alpha)} \). Преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества: \( \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} (1 + \cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha}{2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} \), что даёт итоговое выражение \( r = \frac{1}{2} a \sin \alpha \tan \frac{\beta}{2} \). Этот радиус и является радиусом сферы, вписанной в пирамиду.